Questão 6. [Teorema de Abel] Sejam e soluções da equação diferencial
em um intervalo e defina o Wronskiano como função de como
Conclua que ou para todo ou nunca se anula em .
Nota: Deste teorema segue que para determinar se e são soluções fundamentais em um determinado intervalo , basta avaliar a nulidade do Wronskiano em qualquer ponto de .
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem e duas soluções e num intervalo . Precisamos usar o Teorema de Abel, que relaciona a derivada do Wronskiano com o coeficiente , para concluir que ou o Wronskiano é identicamente zero em ou nunca se anula em .
Passo 2
Começamos escrevendo o Wronskiano como determinante e calculando sua derivada. Definindo
Passo 3
derivando em relação a t temos
W'(t)=y1'y2'+y1y2''-l(y2'y1'+y2y1''r)=y1y2''-y2y1'',pois os termos y1'y2' se cancelam.
Passo 4
Agora usamos que ambas as yi satisfazem a equação yi''=-p(t)yi'-q(t)yi. Substituindo em W':
Como exp(-integral p) nunca zera, o sinal de W e seu valor nulo dependem apenas de C. Se C=0, então W(t)=0 para todo tin I. Se Cneq0, então W(t) nunca se anula em I.
Resposta
Pela fórmula de Abel, temos W(t)=Cexpl(-integral p(t),dtr). Então ou C=0 e W(t)equiv0 em I, ou Cneq0 e W(t) é nunca nulo em I.