Questão 6. [Teorema de Abel] Sejam y1(t) e y2(t) soluções da equação diferencial
y prime prime prime p(t) y prime+q(t) y=0
em um intervalo I e defina o Wronskiano como função de t como
W(t)=det(ll y1(t) & y2(t) y1^prime(t) & y2^prime(t) )
Conclua que ou W(t)=0 para todo t in I ou W(t) nunca se anula em I.
Nota: Deste teorema segue que para determinar se y1 e y2 são soluções fundamentais em um determinado intervalo I, basta avaliar a nulidade do Wronskiano em qualquer ponto de I.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem y''+p(t)y'+q(t)y=0 e duas soluções y1(t) e y2(t) num intervalo I. Precisamos usar o Teorema de Abel, que relaciona a derivada do Wronskiano com o coeficiente p(t), para concluir que ou o Wronskiano W(t) é identicamente zero em I ou nunca se anula em I.

Passo 2

Começamos escrevendo o Wronskiano como determinante e calculando sua derivada. Definindo
W(t)=y1(t)&y2(t)y1'(t)&y2'(t)=y1y2'-y2y1',

Passo 3

derivando em relação a t temos
W'(t)=y1'y2'+y1y2''-l(y2'y1'+y2y1''r)=y1y2''-y2y1'',pois os termos y1'y2' se cancelam.

Passo 4

Agora usamos que ambas as yi satisfazem a equação yi''=-p(t)yi'-q(t)yi. Substituindo em W':
W'(t)=y1l(-p y2'-q y2r)-y2l(-p y1'-q y1r)=-p(y1y2'-y2y1')=-p(t)W(t)

Passo 5

Obtivemos a equação de primeira ordem para W:
W'+p(t)W=0Essa é separável. Escrita como W'/W=-p(t) e integrando,
ln|W|=-integral p(t),dt+CLongrightarrow W(t)=Cexpl(-integral p(t),dtr)

Passo 6

Como exp(-integral p) nunca zera, o sinal de W e seu valor nulo dependem apenas de C. Se C=0, então W(t)=0 para todo tin I. Se Cneq0, então W(t) nunca se anula em I.

Resposta

Pela fórmula de Abel, temos W(t)=Cexpl(-integral p(t),dtr). Então ou C=0 e W(t)equiv0 em I, ou Cneq0 e W(t) é nunca nulo em I.

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