Q. 01 Determine cada limite:
,
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas (explicitas no enunciado):
- A variável tende para
. - A expressão é
.
Observação imediata sobre a forma do limite: quando
tem-se
, então o colchete
, enquanto
tende para infinito. Assim o produto é uma indeterminação do tipo “
”, então precisamos manipular algebraicamente para resolver.
Passo 2
Estratégia escolhida: simplificar a expressão algébrica antes de tentar avaliar o limite. Essa é a maneira mais direta e elementar aqui (evita usar regra de L’Hôpital ou séries). Vamos transformar o que está entre colchetes em uma única fração e fatorar a diferença de quadrados.
Lembrando a identidade (que é útil e simples): para quaisquer
e
,
Aplicando isso com
e
, teremos uma fatoração útil.
Passo 3
Fazer a manipulação passo a passo:
Escrevendo o colchete como uma única fração,
Agora fatoramos o numerador usando a identidade
com
e
:
Substituindo de volta,
Multiplicando pelo fator
externo:
onde na passagem foi feita a simplificação do fator
(válida para
; isso é suficiente ao tratar limites, já que estamos apenas nos aproximando de
, não avaliando exatamente em
).
Passo 4
Agora temos uma expressão simplificada
Essa função é contínua no ponto
(o denominador
não é zero em
). Pelo fato de ser contínua no ponto, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
.