Q. 01 Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}\!\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right].
Informações dadas (explicitas no enunciado):
  • A variável tende para \,x\to0.
  • A expressão é \displaystyle \frac{1}{x}\!\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right].
Observação imediata sobre a forma do limite: quando x\to0 tem-se 1/(x+1)^{2}\to1, então o colchete \bigl[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\bigr]\to0, enquanto \frac{1}{x} tende para infinito. Assim o produto é uma indeterminação do tipo “ 0\cdot\infty”, então precisamos manipular algebraicamente para resolver.

Passo 2

Estratégia escolhida: simplificar a expressão algébrica antes de tentar avaliar o limite. Essa é a maneira mais direta e elementar aqui (evita usar regra de L’Hôpital ou séries). Vamos transformar o que está entre colchetes em uma única fração e fatorar a diferença de quadrados.
Lembrando a identidade (que é útil e simples): para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando isso com a=x+1 e b=1, teremos uma fatoração útil.

Passo 3

Fazer a manipulação passo a passo:
Escrevendo o colchete como uma única fração,
1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}.
Agora fatoramos o numerador usando a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=x+1 e b=1:
(x+1)^{2}-1 = \bigl((x+1)-1\bigr)\bigl((x+1)+1\bigr) = x(x+2).
Substituindo de volta,
1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{x} externo:
\frac{1}{x}\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right] = \frac{1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}} = \frac{x+2}{(x+1)^{2}},
onde na passagem foi feita a simplificação do fator x (válida para x\ne0; isso é suficiente ao tratar limites, já que estamos apenas nos aproximando de 0, não avaliando exatamente em 0).

Passo 4

Agora temos uma expressão simplificada
\frac{x+2}{(x+1)^{2}}.
Essa função é contínua no ponto x=0 (o denominador (x+1)^{2} não é zero em x=0). Pelo fato de ser contínua no ponto, o limite quando x\to0 é simplesmente o valor da função em x=0.

Resposta

2

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