Q. 07 O peso de um objeto é dado por
onde x é a distância do objeto ao centro da Terra, R o raio da Terra e
e
são constantes. Que relação deve existir entre estas constantes para que
seja uma função contínua?
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
onde
é o raio da Terra e
e
são constantes. A pergunta é: que relação entre
e
torna
contínua? \n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função está definida em duas peças, com a mudança ocorrendo em
. - A peça para
é e para é . -
representa o raio da Terra (logo ), então não preciso me preocupar com .]
Passo 2
O que significa “ser contínua” no ponto
? Vou explicar isso com calma e de um jeito que dá pra usar na prova. Uma função
é contínua em
quando três coisas acontecem ao mesmo tempo:
-
está definida (ou seja, a função tem valor em ). -
existe (limite vindo da esquerda). -
existe (limite vindo da direita) e
Aqui o ponto crítico é
porque em qualquer outro
cada peça é uma função elementar contínua (reta ou potência), então a continuidade só pode falhar justamente na junção das peças.
Passo 3
Calcular
e o limite pela esquerda. Como a definição da peça para
inclui
, o valor da função em
é simplesmente substituir
em
:
O limite vindo da esquerda também usa a mesma expressão (pois para
vale
), então
Explicando: funções polinomiais/lineares são contínuas, então o limite quando
tende a
é o valor obtido ao substituir
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita. Para
a função é
. Como essa expressão é contínua para
e aqui
, o limite pela direita é o valor da expressão em
:
Novamente, explicando: para funções do tipo
o limite ao aproximar
de
é
.
Passo 5
Impor a condição de continuidade em
. Pela definição do Passo 2, precisamos que
Já temos
e
. Portanto devemos ter
Agora resolvemos essa equação para obter a relação entre
e
. Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
então isso é válido),
Simplificando o lado esquerdo,
Passo 6
Verificação e observações finais (como seria na prova): com
a igualdade entre o valor no ponto e os limites fica garantida:
logo
é contínua em
. Como cada pedaço é contínuo em seu domínio, a função toda fica contínua para todo
se e somente se
. Também é importante lembrar (para evitar erros na prova) que usei
; se alguém hipoteticamente colocasse
teria que reavaliar a definição da peça para
porque haveria divisão por zero.