Q. 07 O peso de um objeto é dado por
w(x)=\left\{\begin{array}{cl} a x, & \text { se } x \leq R \\\ \frac{b}{x^{2}}, & \text { se } x>R \end{array},\right.
onde x é a distância do objeto ao centro da Terra, R o raio da Terra e a e b são constantes. Que relação deve existir entre estas constantes para que w seja uma função contínua?

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes w(x)\) igual a \[w(x)=\begin{cases} a x, & \text{se } x \le R,\\[4pt] \dfrac{b}{x^{2}}, & \text{se } x>R, \end{cases}
onde x\] é a distância ao centro da Terra, \(R é o raio da Terra e a e b são constantes. A pergunta é: que relação entre a e b torna w contínua? \n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função está definida em duas peças, com a mudança ocorrendo em x=R.
  • A peça para x\le R é w(x)=a x e para x>R é w(x)=\dfrac{b}{x^{2}}.
  • R representa o raio da Terra (logo R>0), então não preciso me preocupar com R=0.]

Passo 2

O que significa “ser contínua” no ponto x=R? Vou explicar isso com calma e de um jeito que dá pra usar na prova. Uma função w é contínua em x=R quando três coisas acontecem ao mesmo tempo:
  1. w(R) está definida (ou seja, a função tem valor em x=R).
  2. \displaystyle\lim_{x\to R^-} w(x) existe (limite vindo da esquerda).
  3. \displaystyle\lim_{x\to R^+} w(x) existe (limite vindo da direita) e
w(R)=\lim_{x\to R^-} w(x)=\lim_{x\to R^+} w(x).
Aqui o ponto crítico é x=R porque em qualquer outro x cada peça é uma função elementar contínua (reta ou potência), então a continuidade só pode falhar justamente na junção das peças.

Passo 3

Calcular w(R) e o limite pela esquerda. Como a definição da peça para x\le R inclui x=R, o valor da função em R é simplesmente substituir x=R em a x:
w(R)=aR.
O limite vindo da esquerda também usa a mesma expressão (pois para x<R vale a x), então
\lim_{x\to R^-} w(x)=\lim_{x\to R^-} a x = aR.
Explicando: funções polinomiais/lineares são contínuas, então o limite quando x tende a R é o valor obtido ao substituir x=R.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x>R a função é \dfrac{b}{x^{2}}. Como essa expressão é contínua para x\neq0 e aqui R>0, o limite pela direita é o valor da expressão em x=R:
\lim_{x\to R^+} w(x)=\lim_{x\to R^+} \frac{b}{x^{2}}=\frac{b}{R^{2}}.
Novamente, explicando: para funções do tipo b x^{-2} o limite ao aproximar x de R é b R^{-2}.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em x=R. Pela definição do Passo 2, precisamos que
w(R)=\lim_{x\to R^-} w(x)=\lim_{x\to R^+} w(x).
Já temos w(R)=aR e \lim_{x\to R^+} w(x)=\dfrac{b}{R^{2}}. Portanto devemos ter
aR=\frac{b}{R^{2}}.
Agora resolvemos essa equação para obter a relação entre a e b. Multiplicando ambos os lados por R^{2} (lembrando que R>0 então isso é válido),
aR\cdot R^{2}=b.
Simplificando o lado esquerdo,
b=aR^{3}.

Passo 6

Verificação e observações finais (como seria na prova): com b=aR^{3} a igualdade entre o valor no ponto e os limites fica garantida:
aR=\frac{aR^{3}}{R^{2}}=aR,
logo w é contínua em x=R. Como cada pedaço é contínuo em seu domínio, a função toda fica contínua para todo x se e somente se b=aR^{3}. Também é importante lembrar (para evitar erros na prova) que usei R>0; se alguém hipoteticamente colocasse R=0 teria que reavaliar a definição da peça para x>R porque haveria divisão por zero.

Resposta

\displaystyle b=aR^{3}

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