- Seja
uma função contínua. Se
é diferenciável em
e
, mostre que
é uma função constante.
(Sugestão: Tome
e aplique o Teorema do Valor Médio à função
no intervalo
).
(Sugestão: Tome
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
contínua em
, diferenciável em
e que
Queremos mostrar que
é constante. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Médio, que diz: se uma função é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Passo 2
Escolha quaisquer
com
. Como
satisfaz as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade no intervalo
, o Teorema do Valor Médio garante a existência de algum
tal que
Passo 3
Mas pelo enunciado sabemos que
. Logo
e, como
, concluímos que
Passo 4
Visto que
e
foram escolhidos de forma arbitrária em
, isso mostra que todo par de pontos do intervalo tem a mesma imagem pela função
. Portanto
é constante em
.
Resposta
Para todo
, vale
ou seja,
é função constante.