1. Seja f:[a, b] R uma função contínua. Se f é diferenciável em (a, b) e f^prime(x)=0, forall x in(a, b), mostre que f é uma função constante.
    (Sugestão: Tome x1, x2 in[a, b] e aplique o Teorema do Valor Médio à função f no intervalo [x1, x2] ).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:[a,b]toR contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e que
f'(x)=0forall xin(a,b)
Queremos mostrar que f é constante. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Médio, que diz: se uma função é contínua em [x1,x2] e diferenciável em (x1,x2), então existe cin(x1,x2) tal que
f'(c)=f(x2)-f(x1)x2-x1

Passo 2

Escolha quaisquer x1,x2in[a,b] com x1<x2. Como f satisfaz as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade no intervalo [x1,x2], o Teorema do Valor Médio garante a existência de algum
cin(x1,x2)
tal que
f'(c)=f(x2)-f(x1)x2-x1

Passo 3

Mas pelo enunciado sabemos que f'(c)=0. Logo
0=f'(c)=f(x2)-f(x1)x2-x1
e, como x2-x1neq0, concluímos que
f(x2)-f(x1)=0 Longrightarrow f(x2)=f(x1)

Passo 4

Visto que x1 e x2 foram escolhidos de forma arbitrária em [a,b], isso mostra que todo par de pontos do intervalo tem a mesma imagem pela função f. Portanto f é constante em [a,b].

Resposta

Para todo xin[a,b], vale
f(x)=f(a),
ou seja, f é função constante.

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