Q 103 Seja f(x)=rrx^2, & x <= 2 a x+b, & x>2. Ache os valores de a e b que faça f diferenciável em R.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2, & x <= 2, a x + b, & x>2,
e pede os valores de a e b que tornam f diferenciável em R. Para isso precisamos garantir que f seja contínua em x=2 e que as derivadas laterais em x=2 sejam iguais.

Passo 2

Impondo continuidade em x=2, igualamos
f(2^-)=f(2^+)
Isto é,
2^2=2a+b
logo
2a+b=4

Passo 3

Agora exigimos que as derivadas laterais em x=2 coincidam. Da parte esquerda, f'(x)=2x, logo
f'-(2)=2cdot2=4
Da parte direita, f'(x)=a para todo x>2, logo
f'+(2)=a
Igualando as derivadas:
a=4

Passo 4

Substituindo a=4 na equação da continuidade 2a+b=4, obtemos
2cdot4+b=4
8+b=4
b=-4

Resposta

a=4, b=-4.

Exercícios relacionados