Q 11 Sabendo que f é uma função par e que integral0^1 f(x) d x=pi, determine:
(a) integral-1^0 f(x) d x;
(b) integral-1^1 f(x) d x;
(c) integral0^1-f(x) d x;
(d) integral-1^1-f(x) d x.

Passo 1

O enunciado afirma que f é uma função par, ou seja, ,f(-x)=f(x), para todo x. Além disso, sabe-se que
integral0^1 f(x),dx = pi
Precisamos usar as propriedades de simetria das integrais de funções pares para determinar todas as seguintes integrais:
(a) integral-1^0 f(x),dx,
(b) integral-1^1 f(x),dx,
(c) integral0^1 -f(x),dx,
(d) integral-1^1 -f(x),dx.

Passo 2

Para (a), usamos que se f é par então
integral-1^0 f(x),dx =integral0^1 f(-t),dt =integral0^1 f(t),dt =pi
Logo,
integral-1^0 f(x),dx = pi

Passo 3

Para (b), a propriedade de função par em intervalo simétrico dá
integral-1^1 f(x),dx =2integral0^1 f(x),dx =2pi

Passo 4

Para (c), basta tirar o sinal menos:
integral0^1 -f(x),dx =-integral0^1 f(x),dx =-pi

Passo 5

Para (d), aplicamos o mesmo raciocínio em todo o intervalo:
integral-1^1 -f(x),dx =-integral-1^1 f(x),dx =-2pi

Resposta

(a) pi
(b) 2pi
(c) -pi
(d) -2pi

Exercícios relacionados