Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=2^2 x cos (3 x)sen(5 x);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2^2xcos(3x)sin(5x),
e pede f'(x). Vamos usar: derivada de a^u(x) pela regra da cadeia, derivadas de funções trigonométricas, produto e quociente.

Passo 2

Defina o numerador
g(x)=2^2xcos(3x)
Usando produto g(x)=u(x)v(x) com u(x)=2^2x e v(x)=cos(3x):
- u'(x)=2^2xcdot(2ln2)
- v'(x)=-3sin(3x)
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g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2^2x(2ln2)cos(3x)-2^2x,3sin(3x) =2^2xl(2ln2cos(3x)-3sin(3x)r)

Passo 3

Defina o denominador
h(x)=sin(5x)
Pela cadeia,
h'(x)=cos(5x)cdot5=5cos(5x)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente
f'(x)=g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2
substituindo g, g', h, h':
f'(x) =2^2xl(2ln2cos(3x)-3sin(3x)r)sin(5x) -;2^2xcos(3x),(5cos(5x))sin^2(5x)

Passo 5

Fatorando 2^2x no numerador:
f'(x) =2^2xl[(2ln2cos(3x)-3sin(3x))sin(5x) -5cos(3x)cos(5x)r]sin^2(5x)

Resposta

f'(x) =2^2xl[(2ln2cos(3x)-3sin(3x))sin(5x) -5cos(3x)cos(5x)r]sin^2(5x)

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