Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(rr6 & -1 5 & 4) X, X(0)=binom-28

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
X' = A,X, A = 6 & -1[6pt]5 & 4, X(0)=-2[3pt]8
É um sistema linear de ordem 2 com coeficientes constantes. Vamos usar a teoria de matrizes para obter a solução geral via exponencial de matriz.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A. A equação característica é
det(A-lambda I) =det!6-lambda & -1[3pt]5 & 4-lambda =(6-lambda)(4-lambda)+5 =lambda^2-10lambda+29=0
Suas raízes são
lambda = 10pmraiz100-1162 =5pm2,i
]

Passo 3

Para uma matriz 2times2 com autovalores 5pm2i vale a fórmula
e^At =e^5tl(cos(2t),I+sin(2t)2,(A-5I)r)
Aqui definimos B = A-5I.

Passo 4

Calculamos
B = A-5I = 1 & -1[3pt]5 & -1, B2 = tfrac12 & -tfrac12[3pt]tfrac52 & -tfrac12
Logo
e^At = e^5t cos(2t)+tfrac12sin(2t) & -tfrac12sin(2t)[6pt] tfrac52sin(2t) & cos(2t)-tfrac12sin(2t)
]

Passo 5

Multiplicamos e^At por X(0)=(-2,8)^T:
X1(t) = e^5tl[-2l(cos2t+tfrac12sin2tr) +8l(-tfrac12sin2tr)r] = e^5tl(-2cos2t-5sin2tr),
X2(t) = e^5tl[-2l(tfrac52sin2tr) +8l(cos2t-tfrac12sin2tr)r] = e^5tl(8cos2t-9sin2tr)

Resposta

X(t) = -2cos2t -5sin2t[4pt] 8cos2t -9sin2t e^5t ]

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