a) Seja A uma matriz constante n times n, B e C sejam vetores constantes ndimensionais. Demonstrar que a solução do sistema
Y^prime(t)=A Y(t)+C, Y(a)=B
em (-infty, infty) vem dada pela fórmula
Y(x)=e^(x-a) A B+(integral0^x-a e^u A d u) C
b) Se A é não-singular, demonstrar que a integral da parte a) tem o valor e^(x-a) A-I A^-1.
c)Calcular Y(x) na forma explícita quando
A=[ll -1 & 2 -2 & 3 ], C=[l 1 2 ], B=[l b c ], a=0

Passo 1

Resumindo: temos o sistema linear não-homogêneo
Y'(t)=A,Y(t)+C, Y(a)=B,
onde A é uma matriz constante ntimes n e B,C são vetores constantes em R^n. O conteúdo é resolução de sistemas lineares de primeira ordem por expoente matricial e método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
Yh'(t)=A,Yh(t), Yh(a)=B
A solução dessa é dada pela definição de expoente matricial:
Yh(x)=e^(x-a)A,B

Passo 3

Para achar uma solução particular do sistema não-homogêneo, usamos o fator integrante e^-tA. Multiplicando a equação original por e^-tA obtemos
e^-tAY'(t)-e^-tAA,Y(t)=e^-tAC ;Longrightarrow; ddtl(e^-tAY(t)r)=e^-tAC
Integrando de t=a até t=x
e^-xAY(x)-e^-aAY(a) =integrala^xe^-tAC,dt ;Longrightarrow; Y(x)=e^(x-a)AB+integrala^xe^(x-t)AC,dt

Passo 4

Fazendo a mudança de variável u=x-t na integral integrala^xe^(x-t)AC,dt, vemos que quando t=a vem u=x-a e quando t=x vem u=0. Então
integrala^xe^(x-t)AC,dt =integral0^,x-ae^uAC,du,
mostrando a fórmula pedida em (a):
Y(x) =e^(x-a)AB +l(integral0^,x-ae^uA,dur),C

Passo 5

Se A é inversível, note que ddue^uA=A,e^uA. Logo
integral0^,x-ae^uA,du =A^-1l[e^uAr]0^,x-a =A^-1l(e^(x-a)A-Ir),
que é a parte (b).

Passo 6

Agora parte (c): dados
temos , logo

Passo 7

Para calcular e^xA, observamos que
A=I+N, N=A-I=-2&2-2&2,
e verifica-se N^2=0. Então
e^xA=e^x(I+N)=e^x,e^xN =e^xl(I+xNr) =e^x1-2x&2x-2x&1+2x

Passo 8

A solução geral é
Y(x)=e^xAB+A^-1l(e^xA-Ir)C
Substituindo e^xA, A^-1, B e C e fazendo as multiplicações, obtemos em cada componente:
Y1(x) =e^xl[(1-2x)b+2x,cr] ;+;l((2x-1)e^x+1r),
Y2(x) =e^xl[-2x,b+(1+2x)cr] ;+;2x,e^x

Resposta

Y(x) = e^xl[(1-2x)b+2x,cr]+(2x-1)e^x+1[6pt] e^xl[-2x,b+(1+2x)cr]+2x,e^x ]

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