a) Seja uma matriz constante e sejam vetores constantes ndimensionais. Demonstrar que a solução do sistema
em vem dada pela fórmula
b) Se é não-singular, demonstrar que a integral da parte a) tem o valor .
c)Calcular na forma explícita quando
Passo 1
Resumindo: temos o sistema linear não-homogêneo
Y'(t)=A,Y(t)+C, Y(a)=B,
onde A é uma matriz constante ntimes n e B,C são vetores constantes em R^n. O conteúdo é resolução de sistemas lineares de primeira ordem por expoente matricial e método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte homogênea
Yh'(t)=A,Yh(t), Yh(a)=B
A solução dessa é dada pela definição de expoente matricial:
Yh(x)=e^(x-a)A,B
Passo 3
Para achar uma solução particular do sistema não-homogêneo, usamos o fator integrante e^-tA. Multiplicando a equação original por e^-tA obtemos