Q. 12 (0.50) - Um líquido ideal, incompressível, escoa em regime permanente em trecho de tubulação na seção (1). No trecho (2) do tubo, ocorre uma redução. Se o trecho do diâmetro do tubo na seção (2) é a metade do trecho na seção (1). Podemos afirmar que a expressão para a velocidade na seção (2) para esse escoamento é:
Passo 1
O enunciado dá um escoamento estacionário de um líquido ideal incompressível em dois trechos do mesmo tubo. As informações relevantes são:
- Na seção inicial temos diâmetro
e velocidade média . - Na seção reduzida temos diâmetro
e velocidade média . - Foi informado que
é a metade de , ou seja .
A pergunta do enunciado é: qual é a expressão paraem função de ?
Passo 2
Definimos as grandezas que usaremos:
-
e são as áreas das seções transversais em e . -
e são as velocidades médias em e . -
é a densidade do fluido (constante, pois o fluido é incompressível).
Pelo princípio da conservação de massa para escoamento estacionário a vazão mássica é constante, ou seja:
Expliquei: essa equação diz que a massa que entra por unidade de tempo na seção
é igual à massa que sai por unidade de tempo na seção
.
Passo 3
Como o fluido é incompressível, a densidade
é constante e aparece dos dois lados da equação; podemos simplificar dividindo por
, obtendo a equação da vazão volumétrica:
Isto significa: área vezes velocidade é constante ao longo do tubo.
Passo 4
Escrevemos as áreas em função dos diâmetros (seções circulares):
Portanto
Passo 5
Usamos a relação
para relacionar
e
:
Logo a área da seção reduzida é um quarto da área original.
Passo 6
Voltamos à equação de continuidade
e substituímos
. Assim
Cancelando
em ambos os lados (é diferente de zero) obtemos
Interpretação prática: ao reduzir o diâmetro pela metade a velocidade média aumenta por um fator 4. Exemplo numérico rápido: se
então
.