Q. 12 (0.50) - Um líquido ideal, incompressível, escoa em regime permanente em trecho de tubulação na seção (1). No trecho (2) do tubo, ocorre uma redução. Se o trecho do diâmetro do tubo na seção (2) é a metade do trecho na seção (1). Podemos afirmar que a expressão para a velocidade na seção (2) para esse escoamento é:

Passo 1

O enunciado dá um escoamento estacionário de um líquido ideal incompressível em dois trechos do mesmo tubo. As informações relevantes são:
  • Na seção inicial temos diâmetro D_1 e velocidade média v_1.
  • Na seção reduzida temos diâmetro D_2 e velocidade média v_2.
  • Foi informado que D_2 é a metade de D_1, ou seja D_2 = \tfrac{1}{2}D_1.
    A pergunta do enunciado é: qual é a expressão para v_2 em função de v_1?

Passo 2

Definimos as grandezas que usaremos:
  • A_1 e A_2 são as áreas das seções transversais em 1 e 2.
  • v_1 e v_2 são as velocidades médias em 1 e 2.
  • \rho é a densidade do fluido (constante, pois o fluido é incompressível).
    Pelo princípio da conservação de massa para escoamento estacionário a vazão mássica é constante, ou seja:
\rho\,A_1\,v_1=\rho\,A_2\,v_2
Expliquei: essa equação diz que a massa que entra por unidade de tempo na seção 1 é igual à massa que sai por unidade de tempo na seção 2.

Passo 3

Como o fluido é incompressível, a densidade \rho é constante e aparece dos dois lados da equação; podemos simplificar dividindo por \rho, obtendo a equação da vazão volumétrica:
A_1\,v_1=A_2\,v_2.
Isto significa: área vezes velocidade é constante ao longo do tubo.

Passo 4

Escrevemos as áreas em função dos diâmetros (seções circulares):
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Portanto
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}.

Passo 5

Usamos a relação D_2=\tfrac{1}{2}D_1 para relacionar A_2 e A_1:
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (D_1/2)^2}{4}=\frac{\pi D_1^2}{4\cdot 4}=\frac{1}{4}\,\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{1}{4}A_1.
Logo a área da seção reduzida é um quarto da área original.

Passo 6

Voltamos à equação de continuidade A_1 v_1 = A_2 v_2 e substituímos A_2=\tfrac{1}{4}A_1. Assim
A_1 v_1 = \frac{1}{4}A_1\,v_2.
Cancelando A_1 em ambos os lados (é diferente de zero) obtemos
v_1=\frac{1}{4}v_2 \quad\Longrightarrow\quad v_2=4\,v_1.
Interpretação prática: ao reduzir o diâmetro pela metade a velocidade média aumenta por um fator 4. Exemplo numérico rápido: se v_1=1{,}0\\ \text{m/s} então v_2=4{,}0\\ \text{m/s}.

Resposta

v_2=4\,v_1

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