QUESTÃO 2- Na latitude de 45^{\circ}, a aceleração da gravidade em funçâo da altitude z acima do nivel do mar é dada por g=a-b z, onde a=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e b-3,3 \times 10^{4} \mathrm{~s}^{2}. Determine a altitude acima do nivel do mar onde o peso de um objeto decresee 3 \%

Passo 1

O enunciado dá a variação da aceleração da gravidade com a altitude z pela fórmula
g(z)=a-bz,
com os parâmetros numéricos fornecidos: a=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e b=3,3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-2} (peguei esse valor diretamente do enunciado).
A pergunta é: determinar a altitude z acima do nível do mar onde o peso de um objeto diminui 3\% em relação ao peso ao nível do mar.

Passo 2

Entendendo o que significa "peso diminui 3\%". O peso W de um objeto de massa m é dado por
W(z)=m\,g(z).
No nível do mar o peso é W_0=m\,g(0)=m\,a. Diminuir 3\% significa que o novo peso vale 97\% do original, ou seja
W(z)=0,97\,W_0.
Como m cancela ao relacionar W(z) com W_0, isso é equivalente a exigir que a aceleração da gravidade valha 97\% de a:
g(z)=0,97\,a.
(Essa passagem usa um conceito simples: porcentagem aplicada ao fator g, já que W é proporcional a g.)

Passo 3

Agora escrevo a condição usando a expressão dada para g(z). Substituindo g(z)=a-bz e impondo g(z)=0,97\,a, obtenho a equação:
a-bz=0,97\,a.

Passo 4

Isolo z nessa equação. Primeiro passo, subtrair 0,97\,a de ambos os lados:
a-0,97\,a=bz.
No lado esquerdo a-0,97\,a é 0,03\,a. Logo:
0,03\,a=bz.
Agora isolando z:
z=\frac{0,03\,a}{b}.
Aqui usei álgebra básica: mover termos e dividir ambos os lados por b. Todas as variáveis são positivas, então não há problema com sinais.

Passo 5

Substituo os valores numéricos: a=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e b=3,3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-2}. Assim
z=\frac{0,03\times 9,8}{3,3\times 10^{-4}}\\ \mathrm{m}.
Faço as contas com calma: 0,03\times 9,8=0,294. Então
z=\frac{0,294}{3,3\times 10^{-4}}\\ \mathrm{m}.
Dividindo:
z\approx 8,90909\times 10^{2}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
z\approx 891\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Faço uma checagem rápida substituindo no modelo: g(z)=9,8-3,3\times 10^{-4}\times 891\approx 9,8-0,294\approx 9,506\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. E 0,97\times 9,8=9,506\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Está consistente: a gravidade (e portanto o peso) diminuiu exatamente 3\%.

Resposta

z\approx 891\\ \mathrm{m}

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