Q 12 Por meio de um escalonamento, resolva os seguintes sistemas lineares:
lx-y+2 z-w=-1 2 x+y-2 z-2 w=-2 -x+2 y-4 z+w=1 3 x-3 w=-3;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x - y + 2z - w = -1, 2x + y - 2z - 2w = -2, - x + 2y - 4z + w = 1, 3x ;-;3w = -3,
e pede para resolvê-lo por escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & -1 2 & 1 & -2 & -2 & -2 -1 & 2 & -4 & 1 & 1 3 & 0 & 0 & -3 & -3 ]

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2, 3 e 4 usando
R2 & R2 - 2R1, R3 & R3 + R1, R4 & R4 - 3R1,
ficando
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 3 & -6 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 3 & -6 & 0 & 0 ]

Passo 4

Para ter o pivô unitário em y, trocamos R2 e R3 e eliminamos y das linhas 3 e 4:
& R2 rightarrow R3, & R3 R3 - 3R2, & R4 R4 - 3R2
O resultado é
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ],
indicando duas variáveis livres ( z e w).

Passo 5

Fazendo substituição reversa:
  • Da segunda linha:
y - 2z = 0Longrightarrow y = 2z
  • Da primeira linha:
x - y + 2z - w = -1 Longrightarrow x - (2z) + 2z - w = -1 Longrightarrow x - w = -1 Longrightarrow x = w - 1
Chamando z = s e w = t com s,tinR, temos
x = t - 1, y = 2s, z = s, w = t

Resposta

(x,y,z,w) = (t-1,,2s,,s,,t), s,tinR

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