Q 14 Considere a matriz A=(ai j)3 times 3^prime, dada por ai j= i+j, & i<j 2 i-j, & i=j j-i, & i>j. Determine a matriz X, em que A cdot X=B, tal que B=(c-2 -2 -2). [Dica: Obtenha A^-1 e então, X=A^-1 cdot B ]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
onde
e
A dica sugere usar a fórmula
Para isso, vamos (i) montar , (iii) calcular e , e por fim (iv) multiplicar por .

Passo 2

Vamos escrever explicitamente
A = (aij)3times3 = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33
Pelos casos dados:
  • a11=2cdot1-1=1,
    a12=1+2=3,
    a13=1+3=4.
  • a21=1-2=-1,
    a22=2cdot2-2=2,
    a23=2+3=5.
  • a31=1-3=-2,
    a32=2-3=-1,
    a33=2cdot3-3=3.
    Logo
A = 1 & 3 & 4 -1 & 2 & 5 -2 & -1 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotdet2 & 5-1 & 3 -3cdotdet-1 & 5-2 & 3 +4cdotdet-1 & 2-2 & -1
Cada menor vale, respectivamente, 11, 7 e 5. Isso dá
det(A)=1cdot11 -3cdot7 +4cdot5 =11 -21 +20 =10neq0,
portanto A é invertível.

Passo 4

Agora obtemos a matriz dos cofatores C = (Cij), onde
Cij = (-1)^i+j,Mij,
e Mij é o menor de ordem 2 obtido eliminando a linha i e a coluna j. Calculando todos os Mij e aplicando o sinal, chega-se a
C = 11 & -7 & 5 -13 & 11 & -5 7 & -9 & 5
A adjunta é adj(A)=C^T, isto é
adj(A) = 11 & -13 & 7 -7 & 11 & -9 5 & -5 & 5

Passo 5

Com isso, a inversa é
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 110 11 & -13 & 7 -7 & 11 & -9 5 & -5 & 5

Passo 6

Finalmente,
X = A^-1,B = 110 11 & -13 & 7 -7 & 11 & -9 5 & -5 & 5 -2-2-2
Fazendo a multiplicação de matrizes, cada componente de X resulta em -1, 1 e -1, respectivamente.

Resposta

X = -1 1 -1

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