Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=e^2 x, n=4;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de f(x)=e^2x até a ordem n=4. Vamos usar a regra da cadeia para exponenciais: se f(x)=e^g(x), então
f'(x)=g'(x),e^g(x)

Passo 2

Para a primeira derivada, tome g(x)=2x, logo g'(x)=2. Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=2,e^2x

Passo 3

A segunda derivada é a derivada de f'(x)=2e^2x. Como o fator 2 é constante, temos
f''(x)=2cdotddxl(e^2xr)=2cdotl(2e^2xr)=4,e^2x

Passo 4

A terceira derivada vem de f''(x)=4e^2x, repetindo o mesmo raciocínio:
f'''(x)=4cdotddxl(e^2xr)=4cdotl(2e^2xr)=8,e^2x

Passo 5

A quarta derivada é a derivada de f'''(x)=8e^2x:
f^(4)(x)=8cdotddxl(e^2xr)=8cdotl(2e^2xr)=16,e^2x

Resposta

f'(x)=2e^2x
f''(x)=4e^2x
f'''(x)=8e^2x
f^(4)(x)=16e^2x

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