Q 13 Sejam U e W subespaços vetoriais do R^4, sabendo que U cap W=[(1,-1,-2,0) ;(2,1,-1,0) ;(1,2,1,0)], dim(U+W)=3 e (1,2,1,0) ;(0,1,1,0) é uma base de U, determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de R^4 tais que
  1. Ucap W=spanv1,v2,v3, onde
v1=(1,-1,-2,0), v2=(2,1,-1,0), v3=(1,2,1,0)
  1. dim(U+W)=3.
  2. Uma base de U é u1,u2 com
u1=(1,2,1,0), u2=(0,1,1,0)
Vamos usar o Teorema da Dimensão (fórmula de Grassmann)
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)

Passo 2

Calcular dim(Ucap W). Note que v2=v1+v3, pois
v1+v3=(1+1,,-1+2,,-2+1,,0+0)=(2,1,-1,0)=v2
Logo v1,v2,v3 tem posto 2 e
dim(Ucap W)=2

Passo 3

Calcular dim(U). Como u1,u2 é base de U, temos
dim(U)=2

Passo 4

Aplicar a fórmula de Grassmann:
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)
Substituindo os valores conhecidos:
3 = 2 + dim(W) - 2
3 = dim(W)

Resposta

dim(W)=3.

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