Q 14 Se U e W são subespaços vetoriais do R^5, tais que W=x, y, z, t, u) in R^5 ; 2 y+4 z-6 t=0 e z=0. dim(U cap W)=0 e dim(U+W)=5, determine a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços U e W de R^5 tais que
W = (x,y,z,t,u)inR^5 mid 2y+4z-6t=0 e z=0,
além de
dim(Ucap W)=0 e dim(U+W)=5.
O conteúdo envolvido é a fórmula de dimensão da soma de subespaços:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Para calcular dim W note que em R^5 impostas as equações
z=0,
2y+4z-6t=0
são duas condições lineares independentes. Logo
dim W = 5 - 2 = 3

Passo 3

Usando a fórmula de dimensão da soma,
dim(U+W)=dim U + dim W - dim(Ucap W),
substituímos os valores conhecidos:
5 = dim U + 3 - 0
Daí
dim U = 5 - 3 = 2.

Resposta

2

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