Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(c) y^prime prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y = 0
O método será assumir uma solução do tipo y=e^r x e montar o polinômio característico, cujas raízes determinam a solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x, y''' = r^3 e^r x
Substituindo em y''' + y=0 sai
r^3 e^r x + e^r x = 0 Longrightarrow (r^3 + 1),e^r x = 0
Como e^r xneq0, o polinômio característico é
r^3 + 1 = 0

Passo 3

Para resolver r^3 + 1=0 fatoramos
r^3 + 1 = (r + 1),(r^2 - r + 1) = 0
As raízes são
r1 = -1, r2,3 = 1 pm iraiz32

Passo 4

A raiz real r1=-1 gera o termo e^-x. As raízes complexas r = tfrac12pm itfracraiz32 geram, pelo teorema de Euler, o fator
e^(tfrac12)xl(C2cos(tfracraiz32x)+C3sin(tfracraiz32x)r)
Portanto a solução geral é combinação linear dos três termos independentes.

Resposta

y(x) = C1 e^-x ;+; e^tfracx2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados