Q 148 O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico à razão de 4,5 cm^3 / min. Determine a taxa de variação do raio quando este é de 2 cm .

Passo 1

O problema trata de um balão esférico que recebe ar à razão de tfracdVdt=4,5 cm^3/min. Precisamos usar derivadas em taxas relacionadas (related rates) para encontrar a taxa de variação do raio, isto é, tfracdrdt, quando r=2 cm.

Passo 2

A relação entre o volume V de uma esfera e seu raio r é
V = 43pi r^3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, usando a regra da cadeia, obtemos
dVdt = 4pi r^2 ,drdt

Passo 3

Isolamos tfracdrdt na equação acima:
drdt = tfracdVdt4pi r^2

Passo 4

Agora substituímos tfracdVdt=4,5 cm^3/min e r=2 cm:
drdt = 4,54pi,(2)^2 = 4,516pi = 932pi cm/min approx 0,0895 cm/min

Resposta

drdt = 932pi cm/min approx 0,0895 cm/min

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