Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
l x^prime=4 x+5 y y^prime=-4 x-4 y

Passo 1

Estamos com o sistema de EDOL de primeira ordem
x' = 4x + 5y, y' = -4x -4y,
onde x=x(t), y=y(t) e ' indica derivada em relação a t.
Conteúdo: usar o operador D para eliminar uma variável e chegar a uma EDOL de segunda ordem, resolver essa EDOL e depois recuperar a outra incógnita. Também faremos o método de substituição direto, isolando uma variável e substituindo na outra equação.

Passo 2

(Método dos operadores)
Aplique D à primeira equação:
x'' = 4x' + 5y'
Mas da segunda temos y' = -4x -4y. Substituindo em x'' e usando y =tfrac15(x' -4x) (obtido de x' =4x+5y), obtemos
x'' = 4x' +5l(-4x -4yr) =4x' -20x -20y =4x' -20x -4(x'-4x) =4x' -20x -4x' +16x =-4x +16x -20x +cancel4x'-cancel4x' =0
Logo
x'' +4x =0

Passo 3

Resolvendo a EDOL
x'' +4x =0
temos equação característica r^2+4=0, raízes r=pm2i. Logo
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Para y(t) usamos
y=x'-4x5
Como
x'=-2Asin(2t)+2Bcos(2t),
segue
y(t) =-2Asin(2t)+2Bcos(2t)-4l(Acos(2t)+Bsin(2t)r)5 =2B-4A5cos(2t);-;2A+4B5sin(2t)

Passo 4

(Método da substituição)
Da segunda equação isolamos x:
y'=-4x-4y Longrightarrow x=-y'+4y4
Agora diferenciamos este x:
x'=-y''+4y'4,
e substituímos na primeira equação x'=4x+5y. Ficamos com
-y''+4y'4=4l(-y'+4y4r)+5y ;Longrightarrow; y''+4y=0

Passo 5

Resolvendo
y''+4y=0
temos solução
y(t)=Ccos(2t)+Dsin(2t)
E recuperamos
x(t)=-y'+4y4 =--2Csin(2t)+2Dcos(2t)+4Ccos(2t)+4Dsin(2t)4,
que, reagrupando, dá uma combinação linear em cos(2t) e sin(2t) equivalente à expressão de x(t) que obtivemos no método dos operadores.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t), y(t)=2B-4A5cos(2t);-;2A+4B5sin(2t),
onde A e B são constantes arbitárias.

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