Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
Passo 1
Estamos com o sistema de EDOL de primeira ordem
onde
,
e
indica derivada em relação a
.
Conteúdo: usar o operador para eliminar uma variável e chegar a uma EDOL de segunda ordem, resolver essa EDOL e depois recuperar a outra incógnita. Também faremos o método de substituição direto, isolando uma variável e substituindo na outra equação.
Conteúdo: usar o operador
Passo 2
(Método dos operadores)
Aplique à primeira equação:
Aplique
Mas da segunda temos
. Substituindo em
e usando
(obtido de
), obtemos
Logo
Passo 3
Resolvendo a EDOL
temos equação característica
, raízes
. Logo
Para
usamos
Como
segue
Passo 4
(Método da substituição)
Da segunda equação isolamos :
Da segunda equação isolamos
Agora diferenciamos este
:
e substituímos na primeira equação
. Ficamos com
Passo 5
Resolvendo
temos solução
E recuperamos
que, reagrupando, dá uma combinação linear em
e
equivalente à expressão de
que obtivemos no método dos operadores.
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitárias.