Q 151 (a) Enuncie a regra de L’Hôspital. (b) Para que serve esta regra? (c) Quando podemos utilizá-la?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a regra de L’H^opital:
(a) enunci’a-la;
(b) explicar para que serve;
(c) dizer quando podemos us’a-la.
O conte’udo aqui 'e c’alculo de limites indeterminados do tipo ou
, usando derivadas de fun\c{c}~oes.
(a) enunci’a-la;
(b) explicar para que serve;
(c) dizer quando podemos us’a-la.
O conte’udo aqui 'e c’alculo de limites indeterminados do tipo
Passo 2
A regra de L’H^opital pode ser enunciada assim: sejam
e
fun\c{c}~oes diferenci’aveis em um intervalo aberto
contendo
(exceto talvez em
propriamente) e suponha que
em
. Se ao aproximar
de
temos
ou
e o limite
existe ('e finito ou
), ent~ao
Passo 3
Esta regra serve para transformar um limite que apresenta indeterminação do tipo
ou
num limite geralmente mais simples, envolvendo as derivadas
e
. Em vez de tentar manipular diretamente
, aplicamos derivadas no numerador e no denominador.
Passo 4
Podemos utilizá-la quando, e somente quando:
. O limite original
gera indeterminação
ou
.
. As funções
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
mesmo).
.
nessa vizinhança.
. O limite
existe (pode ser
).
Resposta
(a) Sejam
e
diferenciáveis em torno de
com
. Se
ou ambos tendem a
, e
existe, então
(b) Serve para calcular limites indeterminados dos tipos
ou
passando a avaliar derivadas em vez das funções originais.
(c) Pode-se aplicá-la quando o limite original gera indeterminação
ou
,
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
,
e o limite de
existir.