Q 151 (a) Enuncie a regra de L’Hôspital. (b) Para que serve esta regra? (c) Quando podemos utilizá-la?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a regra de L’H^opital:
(a) enunci’a-la;
(b) explicar para que serve;
(c) dizer quando podemos us’a-la.
O conte’udo aqui 'e c’alculo de limites indeterminados do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty, usando derivadas de fun\c{c}~oes.

Passo 2

A regra de L’H^opital pode ser enunciada assim: sejam f e g fun\c{c}~oes diferenci’aveis em um intervalo aberto I contendo a (exceto talvez em a propriamente) e suponha que g'(x)neq0 em Isetminusa. Se ao aproximar x de a temos
limxto af(x)=0elimxto ag(x)=0
ou
limxto af(x)=pminftyelimxto ag(x)=pminfty,
e o limite
L=limxto af'(x)g'(x)
existe ('e finito ou pminfty), ent~ao
limxto af(x)g(x)=L

Passo 3

Esta regra serve para transformar um limite que apresenta indeterminação do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty num limite geralmente mais simples, envolvendo as derivadas f' e g'. Em vez de tentar manipular diretamente f(x)/g(x), aplicamos derivadas no numerador e no denominador.

Passo 4

Podemos utilizá-la quando, e somente quando:
1. O limite original limxto af(x)/g(x) gera indeterminação tfrac00 ou tfracinftyinfty.
2. As funções f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a mesmo).
3. g'(x)neq0 nessa vizinhança.
4. O limite limxto af'(x)/g'(x) existe (pode ser pminfty).

Resposta

(a) Sejam f e g diferenciáveis em torno de a com g'(x)neq0. Se
limxto af(x)=limxto ag(x)=0 ou ambos tendem a pminfty, e limxto atfracf'(x)g'(x) existe, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x)
(b) Serve para calcular limites indeterminados dos tipos tfrac00 ou tfracinftyinfty passando a avaliar derivadas em vez das funções originais.
(c) Pode-se aplicá-la quando o limite original gera indeterminação tfrac00 ou tfracinftyinfty, f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a, g'(x)neq0 e o limite de tfracf'(x)g'(x) existir.

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