Q 16 Calcule os limites, envolvendo fatorações e indeterminação 0 / 0.
lim x 4 4-xx^2-2 x-8

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto44 - xx^2 - 2x - 8
Este é um limite que dá indeterminação do tipo 0/0, então vamos identificar essa indeterminação, fatorar o numerador e o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Testando a substituição direta em x=4:
4 - 4 = 0, 4^2 - 2cdot4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0
Temos a forma indeterminada 0/0, o que mostra que é preciso fatorar.

Passo 3

Fatoramos o denominador x^2 - 2x - 8. Buscamos dois números cujo produto seja -8 e soma seja -2: são 4 e -2. Logo,
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
Repare também que
4 - x = -(x - 4)

Passo 4

Reescrevendo a fração com essas fatorações:
4 - xx^2 - 2x - 8 = -(x - 4)(x - 4)(x + 2)
Para xneq4 podemos cancelar o fator (x - 4), restando
-1x + 2

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada:
limxto4gl(-1x + 2gr) = -14 + 2 = -16

Resposta

-16

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