Q 19 Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais do espaço V, em que dim(V)=6.
(a) Se dim(W1)=4 e dim(W2)=5, é verdade que W1 cap W2 neq0 ?
(b) Se dim(W1)=dim(W2)=4, quais possíceis dimensões de W1 cap W2 ?

Passo 1

O enunciado fala de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de um espaço V com dim(V)=6. Em (a) temos dim(W1)=4 e dim(W2)=5 e queremos saber se W1cap W2neq0. Em (b) temos dim(W1)=dim(W2)=4 e queremos as possíveis dimensões de W1cap W2. O conteúdo chave aqui é a fórmula de dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Lembrando a fórmula de dimensão para subespaços:
dim(W1+W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1cap W2)
Como W1+W2subseteq V, vale também
dim(W1+W2) <= dim(V) = 6

Passo 3

Para o item (a), substituímos dim(W1)=4 e dim(W2)=5 na fórmula e usamos o fato de que dim(W1+W2)<=6:
dim(W1cap W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1+W2) >= 4 + 5 - 6 = 3
Logo dim(W1cap W2)>=3, em particular é maior que zero.

Passo 4

Concluímos que em (a) realmente W1cap W2neq0, pois sua dimensão é pelo menos 3.

Passo 5

No item (b), temos dim(W1)=dim(W2)=4. De novo
dim(W1cap W2) = 4 + 4 - dim(W1+W2)
e como dim(W1+W2) não pode passar de 6 e nem ser menor que max(4,4)=4, temos
4 <= dim(W1+W2) <= 6
Dessa forma,
dim(W1cap W2) >= 4 + 4 - 6 = 2, dim(W1cap W2) <= 4 + 4 - 4 = 4
Ou seja, dim(W1cap W2) pode ser 2, 3 ou 4.

Resposta

(a) Sim, pois dim(W1cap W2)>=3>0.
(b) As possíveis dimensões de W1cap W2 são 2, 3 ou 4.

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