Q 19 Sejam
e
subespaços vetoriais do espaço
, em que
.
(a) Se
e
, é verdade que
?
(b) Se
, quais possíceis dimensões de
?
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado fala de dois subespaços vetoriais
e
de um espaço
com
. Em (a) temos
e
e queremos saber se
. Em (b) temos
e queremos as possíveis dimensões de
. O conteúdo chave aqui é a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
Passo 2
Lembrando a fórmula de dimensão para subespaços:
Como
, vale também
Passo 3
Para o item (a), substituímos
e
na fórmula e usamos o fato de que
:
Logo
, em particular é maior que zero.
Passo 4
Concluímos que em (a) realmente
, pois sua dimensão é pelo menos 3.
Passo 5
No item (b), temos
. De novo
e como
não pode passar de 6 e nem ser menor que
, temos
Dessa forma,
Ou seja,
pode ser
,
ou
.
Resposta
(a) Sim, pois
.
(b) As possíveis dimensões de são
,
ou
.
(b) As possíveis dimensões de