Q 18 Verifique que, em cada caso, que a matriz dos coeficientes possui determinante não nulo. Em seguida, resolva os sistemas lineares pela regra de Cramer.
l2 x+y+2 z=4 x+2 y+z=-1 3 x+5 y+2 z=1;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
2x + y + 2z = 4, x + 2y + z = -1, 3x + 5y + 2z = 1,
e pede para verificar que a matriz dos coeficientes
A = 2 & 1 & 2 1 & 2 & 1 3 & 5 & 2
tem determinante não nulo e, em seguida, resolver o sistema pela regra de Cramer. Vamos usar a expansão pelo primeiro linha para calcular det(A) e os determinantes de Ax, Ay e Az.

Passo 2

Calculando det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 22 & 15 & 2 -11 & 13 & 2 +21 & 23 & 5 =2(2cdot2-1cdot5)-1(1cdot2-1cdot3)+2(1cdot5-2cdot3) =-3
Como det(A)=-3neq0, o sistema tem única solução.

Passo 3

Montamos Ax substituindo a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes (4,-1,1):
Ax= 4 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 1 & 5 & 2 , det(Ax) =42 & 15 & 2 -1-1 & 11 & 2 +2-1 & 21 & 5 =-15
Pela regra de Cramer,
x=det(Ax)det(A)=-15-3=5

Passo 4

Montamos Ay trocando a segunda coluna de A pelos termos independentes:
Ay= 2 & 4 & 2 1 & -1 & 1 3 & 1 & 2 , det(Ay) =2-1 & 11 & 2 -41 & 13 & 2 +21 & -13 & 1 =6
Logo,
y=det(Ay)det(A)=6-3=-2

Passo 5

Montamos Az trocando a terceira coluna de A pelos termos independentes:
Az= 2 & 1 & 4 1 & 2 & -1 3 & 5 & 1 , det(Az) =22 & -15 & 1 -11 & -13 & 1 +41 & 23 & 5 =6
Assim,
z=det(Az)det(A)=6-3=-2

Resposta

(x,y,z)=(5,,-2,,-2)

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