Q 21 Julgue em verdadeiro ou falso.
(a) det(-A)=-det(A);
(b) det(A+B)=det(A)+det(B);
(c) (A pm B)^2=A^2 pm 2 A B+B^2;
(d) A^2-B^2=(A-B) cdot(A+B).

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeiro ou falso quatro identidades envolvendo determinante e operações com matrizes genéricas A,B quadradas. Vamos usar propriedades gerais de determinante (homogeneidade de grau n) e álgebra de matrizes (não comutatividade de A e B).

Passo 2

Para qualquer matriz A de ordem n vale
det(-A)=(-1)^ndet(A)
Logo, só em dimensão ímpar temos det(-A)=-det(A). Em geral (dimensão par) isso falha, então a afirmação é falsa.

Passo 3

A propriedade de determinante não é aditiva: não vale
det(A+B)=det(A)+det(B)
Por exemplo, em ordem 2 com A=B=I2 temos det(2I2)=4 mas det(I2)+det(I2)=2. Logo é falso.

Passo 4

Ao expandir (Apm B)^2 temos
(Apm B)^2 = A^2 pm AB pm BA + B^2,
que só coincide com A^2pm 2AB+B^2 se AB=BA. Como em geral matrizes não comutam, a identidade é falsa.

Passo 5

Ao calcular
(A-B)(A+B)=A^2 + AB - BA - B^2 = A^2 - B^2 + (AB-BA),
vemos o termo extra AB-BA. Só se AB=BA teremos A^2-B^2=(A-B)(A+B). Em geral é falso.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F

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