Q 22 Lembre que: A é simétrica se A=A^T e A é antisimétrica se A=-A^T.
(a) Verifique que se A é simétrica (ou antisimétrica), então A é quadrada;
(b) Verifique que A cdot A^T é simétrica;
(c) Se A e B são simétricas, então A B também é? E A B^T ?;
(d) Para toda matriz antisimétrica os elementos da diagonal principal são nulos?

Passo 1

O enunciado trata de propriedades de matrizes simétricas ( A=A^T) e antissimétricas ( A=-A^T) e pede para verificar:
(a) que toda matriz simétrica ou antissimétrica é necessariamente quadrada;
(b) que A,A^T é simétrica;
(c) quando o produto de duas simétricas é simétrico, e o mesmo para A B^T;
(d) que em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal são zero.

Passo 2

Para (a), seja A de ordem mtimes n. Então A^T é ntimes m.
Se A=A^T, as dimensões devem coincidir, logo
mtimes n = ntimes m
implica m=n. Mesmo argumento vale se A=-A^T, pois a igualdade de matrizes exige mesma forma. Concluímos que A é quadrada.

Passo 3

Para (b), usamos a propriedade do transposto de um produto. Temos
(A,A^T)^T = (A^T)^T,A^T = A,A^T
Como (A,A^T)^T = A,A^T, a matriz A,A^T é simétrica por definição.

Passo 4

Em (c), suponha A e B simétricas, isto é, A^T=A e B^T=B. Então
(AB)^T = B^T,A^T = B,A
Para que AB seja simétrica precisamos (AB)^T = AB, ou seja, BA=AB. Logo AB só é simétrica se A e B comutarem.
Como B^T=B, temos AB^T = AB, portanto AB^T é simétrico exatamente nas mesmas condições de AB.

Passo 5

Para (d), se A é antissimétrica então A=-A^T, daí para cada elemento da diagonal
aii = -aii
logo 2aii=0 e aii=0. Todos os elementos da diagonal principal são nulos.

Resposta

(a) Toda matriz simétrica ou antissimétrica é quadrada.
(b) A,A^T é sempre simétrica.
(c) O produto AB de duas simétricas só é simétrico se AB=BA; o mesmo vale para AB^T.
(d) Em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal principal são zero.

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