Q 22 Lembre que:
é simétrica se
e
é antisimétrica se
.
(a) Verifique que se
é simétrica (ou antisimétrica), então
é quadrada;
(b) Verifique que
é simétrica;
(c) Se
e
são simétricas, então
também é?
?;
(d) Para toda matriz antisimétrica os elementos da diagonal principal são nulos?
(a) Verifique que se
(b) Verifique que
(c) Se
(d) Para toda matriz antisimétrica os elementos da diagonal principal são nulos?
Passo 1
O enunciado trata de propriedades de matrizes simétricas (
) e antissimétricas (
) e pede para verificar:
(a) que toda matriz simétrica ou antissimétrica é necessariamente quadrada;
(b) que é simétrica;
(c) quando o produto de duas simétricas é simétrico, e o mesmo para ;
(d) que em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal são zero.
(a) que toda matriz simétrica ou antissimétrica é necessariamente quadrada;
(b) que
(c) quando o produto de duas simétricas é simétrico, e o mesmo para
(d) que em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal são zero.
Passo 2
Para (a), seja
de ordem
. Então
é
.
Se , as dimensões devem coincidir, logo
Se
implica
. Mesmo argumento vale se
, pois a igualdade de matrizes exige mesma forma. Concluímos que
é quadrada.
Passo 3
Para (b), usamos a propriedade do transposto de um produto. Temos
Como
, a matriz
é simétrica por definição.
Passo 4
Em (c), suponha
e
simétricas, isto é,
e
. Então
Para que
seja simétrica precisamos
, ou seja,
. Logo
só é simétrica se
e
comutarem.
Como , temos
, portanto
é simétrico exatamente nas mesmas condições de
.
Como
Passo 5
Para (d), se
é antissimétrica então
, daí para cada elemento da diagonal
logo
e
. Todos os elementos da diagonal principal são nulos.
Resposta
(a) Toda matriz simétrica ou antissimétrica é quadrada.
(b) é sempre simétrica.
(c) O produto de duas simétricas só é simétrico se
; o mesmo vale para
.
(d) Em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal principal são zero.
(b)
(c) O produto
(d) Em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal principal são zero.