Q 1 Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
(b) (1,2,-3,1) ;(2,3,-7,1) ;(1,4,1,5) ;(0,3,5,5);

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
v1=(1,2,-3,1), v2=(2,3,-7,1), v3=(1,4,1,5), v4=(0,3,5,5)
e pede para decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos tentar encontrar uma combinação não trivial que resulte no vetor nulo.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação
a,v1 + b,v2 + c,v3 = v4
Isso gera o sistema de equações coordenada a coordenada:
a + 2b + c = 0, 2a +3b +4c = 3, -3a -7b + c = 5, a + b +5c = 5

Passo 3

Da primeira equação temos
a = -2b - c
Substituindo em 2a+3b+4c=3:
2(-2b-c)+3b+4c=3 ;;Longrightarrow;;-4b-2c+3b+4c=3 ;;Longrightarrow;;-b+2c=3 ;;Longrightarrow;;b=2c-3
Então
a=-2(2c-3)-c=6-5c
Agora use a terceira equação -3a-7b+c=5:
-3(6-5c)-7(2c-3)+c=5 ;;Longrightarrow;;15c-18-14c+21+c=5 ;;Longrightarrow;;2c+3=5 ;;Longrightarrow;;c=1
Logo
b=2cdot1-3=-1, a=6-5cdot1=1
Por fim, conferimos na quarta equação:
a+b+5c=1-1+5=5,
que coincide com o lado direito, então a solução está consistente.

Passo 4

Encontramos coeficientes (a,b,c)=(1,-1,1) tais que
v4 = 1cdot v1 - 1cdot v2 + 1cdot v3
Isso mostra que existe relação linear não trivial entre os vetores. Portanto eles são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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