Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral raizsen(2 x) cdot cos (2 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva para
integral raizsin(2x);cos(2x),dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois ao observarmos sin(2x) e sua derivada vemos um padrão conveniente.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = sin(2x)
Então
du = 2cos(2x),dx Longrightarrow cos(2x),dx = tfrac12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral raizsin(2x);cos(2x),dx = integral raizu;12,du = 12integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos u^1/2:
12integral u^tfrac12,du = 12cdotu^tfrac32tfrac32 = 12cdot23,u^tfrac32 = 13,u^tfrac32

Passo 5

Voltando à variável x, temos
u^tfrac32 = l(sin(2x)r)^tfrac32

Resposta

boxed13,l(sin(2x)r)^tfrac32 + C

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