Q 26 Mudando a variável, resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.
integral sen^2(x) cdot cos ^3(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral sin^2(x),cos^3(x),dx
Este é um caso clássico de integral de potências de seno e cosseno: vamos usar a identidade trigonométrica para reduzir a potência de cos e depois fazer a substituição u=sin(x).

Passo 2

Reescrevendo cos^3(x)=cos^2(x),cos(x) e usando
cos^2(x)=1-sin^2(x),
temos
integral sin^2(x),cos^3(x),dx =integral sin^2(x),l(1-sin^2(x)r),cos(x),dx
Agora fazemos a mudança de variável
u=sin(x), du=cos(x),dx,
de modo que a integral passa a ser
integral u^2,(1 - u^2),du

Passo 3

Expandindo o integrando em u e integrando termo a termo, obtemos
integral l(u^2-u^4r)du =integral u^2du -integral u^4du =u^33-u^55+C
Voltando à variável x (lembre que u=sin(x)), a antiderivada é
sin^3(x)3-sin^5(x)5+C

Resposta

integral sin^2(x),cos^3(x),dx =sin^3(x)3-sin^5(x)5+C

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