Calcule as integrais:
Ij=integral x^2+raiz1+xraiz[3]1+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ij=integral x^2+raiz1+xraiz[3]1+x,dx
O conteúdo aqui é manipular potências fracionárias e usar a substituição u=1+x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando em potências de (1+x):
x^2raiz[3]1+x+raiz1+xraiz[3]1+x = x^2(1+x)^-tfrac13+(1+x)^tfrac12-tfrac13 = x^2(1+x)^-tfrac13+(1+x)^tfrac16

Passo 3

Fazendo u=1+x, temos du=dx e
x^2=(u-1)^2=u^2-2u+1
Então o primeiro termo vira
integral x^2(1+x)^-tfrac13,dx = integral (u^2-2u+1),u^-tfrac13,du = integrall(u^5/3-2u^2/3+u^-1/3r),du

Passo 4

Integramos cada potência:
integral u^5/3,du = u^8/3tfrac83 = 38u^8/3,
integral (-2u^2/3),du = -2cdotu^5/3tfrac53 = -65u^5/3,
integral u^-1/3,du = u^2/3tfrac23 = 32u^2/3
Somando, o antiderivado do primeiro termo é
38u^8/3-65u^5/3+32u^2/3

Passo 5

O segundo termo, integral(1+x)^1/6,dx, com u=1+x e du=dx, é
integral u^1/6,du = u^7/6tfrac76 = 67u^7/6

Passo 6

Somando as duas partes e voltando a x ( u=1+x), obtemos
Ij = 38(1+x)^8/3 -65(1+x)^5/3 +32(1+x)^2/3 +67(1+x)^7/6 + C

Resposta

Ij = 38(1+x)^8/3 -65(1+x)^5/3 +32(1+x)^2/3 +67(1+x)^7/6 + C

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