Q 28 Seja f a função dada abaixo. Exiba seu esboço gráfico, determine os limites abaixo e decida (justificando) se existe algum ponto em que f é descontínua.
f(x)=lll-x & se & x<-1 1-x^2 & se & -1<x<1 x-1 & se & x>1 2 & se & x in-1,1
(a) lim x 1^+ f(x)
(b) lim x 1^- f(x)
(c) lim x -1^+ f(x)
(d) lim x -1^- f(x)
(e) lim x +infty f(x)
(f) lim x -infty f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -x, & x<-1, 1 - x^2, & -1<x<1, x-1, & x>1, 2, & xin-1,1,
pede o esboço do gráfico, os limites em x=pm1 (laterais), os limites em pminfty e quer saber se há pontos de descontinuidade.

Passo 2

Esboço gráfico:
– Para x<-1, f(x)=-x é reta de inclinação -1, passando por (-1,1) (mas aberto nesse ponto).
– Para -1<x<1, f(x)=1-x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1) e valores f(-1+)=f(1-)=0 (abertos).
– Para x>1, f(x)=x-1 é reta de inclinação 1, passando por (1,0) (aberto).
– Há dois pontos isolados: f(-1)=2 e f(1)=2.

Passo 3

Limites em x=1:
limxto1^+f(x) usa f(x)=x-1, logo
limxto1^+f(x)=1-1=0
limxto1^-f(x) usa f(x)=1-x^2, logo
limxto1^-f(x)=1-1^2=0

Passo 4

Limites em x=-1:
limxto-1^+f(x) usa f(x)=1-x^2, logo
limxto-1^+f(x)=1-(-1)^2=0
limxto-1^-f(x) usa f(x)=-x, logo
limxto-1^-f(x)=-(-1)=1

Passo 5

Limites no infinito:
limxto+inftyf(x) usa f(x)=x-1, cresce sem limite, então
limxto+inftyf(x)=+infty
limxto-inftyf(x) usa f(x)=-x, que tende a +infty quando xto-infty, logo
limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 6

Continuidade: em cada intervalo aberto a função é polinomial (logo contínua). Nos pontos x=pm1 comparamos valor da função com limites:
– Em x=1: lim1^-f=lim1^+f=0neq f(1)=2.
– Em x=-1: lim-1^-f=1neqlim-1^+f=0neq f(-1)=2.
Logo há descontinuidade em ambos x=-1 e x=1.

Resposta

(a) limxto1^+f(x)=0
(b) limxto1^-f(x)=0
(c) limxto-1^+f(x)=0
(d) limxto-1^-f(x)=1
(e) limxto+inftyf(x)=+infty
(f) limxto-inftyf(x)=+infty
A função é descontínua em x=-1 e em x=1.

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