Q 35
Dê exemplo de uma função g: R R que seja contínua, para todo x neq 0 e que não seja possível redefinir g(0) para que g se torne contínua.

Passo 1

O enunciado pede uma função gcolon RtoR que seja contínua em todo xneq0 e tal que, independentemente do valor que se atribua a g(0), não seja possível torná-la contínua em 0. O conteúdo aqui é análise de continuidade e existência de limite em um ponto isolado.

Passo 2

Escolhemos
g(x) = sinl(1/xr),& xneq0, 0,& x=0
Essa definição faz g estar (a princípio) definida em todo R.

Passo 3

Para xneq0, a função xmapsto 1/x é contínua e sin também é contínua, logo a composição xmapsto sin(1/x) é contínua em cada ponto xneq0. Portanto g é contínua em todo xneq0.

Passo 4

Para verificar o comportamento em 0, examinamos
limxto0sinl(1/xr)
Considere as sequências
;xn = 1/(npi)to0, que dão sin(1/xn)=sin(npi)=0,
e
;yn = 1,/(tfracpi2+2pi n)to0, que dão sin(1/yn)=1.
Como essas duas sequências que tendem a 0 produzem valores diferentes ( 0 e 1), o limite limxto0sin(1/x) não existe. Sem limite, não há escolha de g(0) que torne g contínua em 0.

Resposta

Um exemplo é
g(x)= sinl(1/xr),&xneq0, 0,&x=0
Essa função é contínua para xneq0 e não admite valor em 0 que a torne contínua em todo R.

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