Q 35
Dê exemplo de uma função que seja contínua, para todo e que não seja possível redefinir para que se torne contínua.
Passo 1
O enunciado pede uma função que seja contínua em todo e tal que, independentemente do valor que se atribua a , não seja possível torná-la contínua em . O conteúdo aqui é análise de continuidade e existência de limite em um ponto isolado.
Passo 2
Escolhemos
Essa definição faz g estar (a princípio) definida em todo R.
Passo 3
Para xneq0, a função xmapsto 1/x é contínua e sin também é contínua, logo a composição xmapsto sin(1/x) é contínua em cada ponto xneq0. Portanto g é contínua em todo xneq0.
Passo 4
Para verificar o comportamento em 0, examinamos
limxto0sinl(1/xr)
Considere as sequências ;xn = 1/(npi)to0, que dão sin(1/xn)=sin(npi)=0,
e ;yn = 1,/(tfracpi2+2pi n)to0, que dão sin(1/yn)=1.
Como essas duas sequências que tendem a 0 produzem valores diferentes (0 e 1), o limite limxto0sin(1/x) não existe. Sem limite, não há escolha de g(0) que torne g contínua em 0.
Resposta
Um exemplo é
g(x)= sinl(1/xr),&xneq0, 0,&x=0
Essa função é contínua para xneq0 e não admite valor em 0 que a torne contínua em todo R.