Q 29 A partir da regra de derivação do produto, deduza a fórmula de integração por partes e, em seguida, explique como se dá o uso desta fórmula para calcular integrais.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da regra de derivação do produto, a gente deduza a fórmula de integração por partes e depois explique como usar essa fórmula para calcular integrais. O conteúdo envolvido é o cálculo integral e, em particular, a conexão entre derivação de um produto e a resolução de integrais.

Passo 2

Lembramos a regra de derivação do produto para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x):
l(u(x),v(x)r)' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Agora integramos ambos os lados da igualdade em relação a x. Para integrais indefinidas:
integral l(u,vr)',dx = integral l(u',v + u,v'r),dx
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada é o próprio produto:
u,v = integral u',v,dx + integral u,v',dx

Passo 4

Reorganizando para isolar uma das integrais, obtemos a fórmula de integração por partes:
integral u,v',dx = u,v - integral u',v,dx
Em notação habitual, define-se du = u',dx e dv = v',dx, de modo que
boxedintegral u,dv = u,v - integral v,du
Para integrais definidas, a dedução é idêntica, mas avaliando o termo u,v nos limites a e b:
integrala^b u,dv = l[u,vr]a^b - integrala^b v,du

Passo 5

Para usar a fórmula de integração por partes em um cálculo prático, siga estes passos:
Escolha funções u(x) e dv(x) de forma que:
  • u(x) seja uma função cuja derivada du seja mais simples,
  • dv seja um diferencial que você consiga facilmente integrar para obter v.
Em seguida:
  1. Calcule du = u'(x),dx.
  2. Calcule v = integral dv.
  3. Substitua na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.
  4. Avalie a nova integral integral v,du. Se ainda estiver complicada, repita o processo ou use outro método.
Dica prática: para escolher u, muitas vezes se usa a regra “LIATE” (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial), mas o mais importante é que du fique simples de integrar.

Resposta

A fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du,
e, para integrais definidas,
integrala^b u,dv = l[u,vr]a^b - integrala^b v,du
Para aplicá-la, escolhe-se u e dv de modo que du e v sejam fáceis de obter, então substitui-se na fórmula e resolve-se a integral resultante.

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