Q 29 A partir da regra de derivação do produto, deduza a fórmula de integração por partes e, em seguida, explique como se dá o uso desta fórmula para calcular integrais.
Passo 1
O enunciado pede que, a partir da regra de derivação do produto, a gente deduza a fórmula de integração por partes e depois explique como usar essa fórmula para calcular integrais. O conteúdo envolvido é o cálculo integral e, em particular, a conexão entre derivação de um produto e a resolução de integrais.
Passo 2
Lembramos a regra de derivação do produto para duas funções diferenciáveis
e
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados da igualdade em relação a
. Para integrais indefinidas:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada é o próprio produto:
Passo 4
Reorganizando para isolar uma das integrais, obtemos a fórmula de integração por partes:
Em notação habitual, define-se
e
, de modo que
Para integrais definidas, a dedução é idêntica, mas avaliando o termo
nos limites
e
:
Passo 5
Para usar a fórmula de integração por partes em um cálculo prático, siga estes passos:
Escolha funções e
de forma que:
Escolha funções
-
seja uma função cuja derivada seja mais simples, -
seja um diferencial que você consiga facilmente integrar para obter .
Em seguida:
- Calcule
. - Calcule
. - Substitua na fórmula
. - Avalie a nova integral
. Se ainda estiver complicada, repita o processo ou use outro método.
Dica prática: para escolher
, muitas vezes se usa a regra “LIATE” (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial), mas o mais importante é que
fique simples de integrar.
Resposta
A fórmula de integração por partes é
e, para integrais definidas,
Para aplicá-la, escolhe-se
e
de modo que
e
sejam fáceis de obter, então substitui-se na fórmula e resolve-se a integral resultante.