Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x(\ln (x))^{2} \mathrm{~d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x(ln x)^2,dx
usando a técnica de integração por partes. Aqui vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e assumir x>0 para ln x estar bem definido.

Passo 2

Escolhemos
u = (ln x)^2, dv = x,dx
Então
du = 2,ln xx,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x(ln x)^2,dx = u,v - integral v,du = x^22(ln x)^2 - integral x^22cdot 2,ln xx,dx = x^22(ln x)^2 - integral x,ln x,dx

Passo 4

Agora falta calcular integral x,ln x,dx. Reaplicamos partes com
u1 = ln x, dv1 = x,dx
du1 = 1x,dx, v1 = x^22
Logo
integral x,ln x,dx = u1v1 - integral v1,du1 = x^22ln x - integral x^22cdot 1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24 + C1

Passo 5

Substituindo esse resultado em
integral x(ln x)^2,dx temos
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - l(x^22ln x - x^24r) + C = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24 + C

Resposta

boxed integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24 + C

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