Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
Mostre que o par de funcões x=e^-2 t+3 e^6 t e y=-e^-2 t+5 e^6 t é uma solucão do sistema de equacões
& d xd t=x+3 y & d yd t=5 x+3 y
no intervalo ( -infty, infty ).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de equações diferenciais lineares
d xd t&=x+3y, d yd t&=5x+3y,
e as funções
x(t)=e^-2t+3e^6t, y(t)=-e^-2t+5e^6t
Para mostrar que esse par (x,y) é solução, basta calcular dxdt e dydt e verificar que coincidem com x+3y e 5x+3y, respectivamente.

Passo 2

Como
x(t)=e^-2t+3e^6t,
usamos a regra da derivada de e^at para obter
dxdt=-2e^-2t+18e^6t

Passo 3

Agora calculamos
x+3y = l(e^-2t+3e^6tr) + 3l(-e^-2t+5e^6tr) = e^-2t+3e^6t -3e^-2t+15e^6t = -2e^-2t+18e^6t
Observamos que
dxdt = -2e^-2t+18e^6t = x+3y,
logo a primeira equação do sistema está satisfeita.

Passo 4

Para
y(t)=-e^-2t+5e^6t,
derivamos e obtemos
dydt=2e^-2t+30e^6t

Passo 5

Finalmente calculamos
5x+3y = 5l(e^-2t+3e^6tr) + 3l(-e^-2t+5e^6tr) = 5e^-2t+15e^6t -3e^-2t+15e^6t = 2e^-2t+30e^6t
Assim
dydt = 2e^-2t+30e^6t = 5x+3y,
o que verifica a segunda equação.

Resposta

As igualdades mostram que
dxdt=x+3y e dydt=5x+3y
para todo tin(-infty,infty). Portanto, o par
l(x(t),y(t)r)=l(e^-2t+3e^6t,,-e^-2t+5e^6tr)
é de fato uma solução do sistema no intervalo (-infty,infty).

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