Resolva as equações diferenciais a seguir, utilizando o método de separação de variáveis.
e^y sin 2 x d x+cos x(e^2 y-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
e^y,sin2x,dx + cos xl(e^2y-yr),dy = 0
usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar reconhecer uma forma que permita colocar todos os termos em x de um lado e todos os termos em y do outro para então integrar.

Passo 2

Observe que sin2x = 2sin xcos x. Substituindo na equação original:
e^y,(2sin xcos x),dx + cos x,(e^2y-y),dy = 0
Isso dá
2e^ysin xcos x,dx + cos x,(e^2y-y),dy = 0
Como cos xneq0 numa vizinhança onde a solução é válida, dividimos por cos x:
2e^ysin x,dx + (e^2y-y),dy = 0

Passo 3

Isolamos termos de x e de y:
2e^ysin x,dx = -l(e^2y-yr),dy Longrightarrow sin x,dx = -e^2y-y2e^y,dy
Agora o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y, caracterizando a separação de variáveis.

Passo 4

Simplificamos o integrando em y:
e^2y-y2e^y = e^2y2e^y - y2e^y = tfrac12 e^y ;-;tfrac12,y,e^-y
Logo a equação separada é
sin x,dx = -l(tfrac12 e^y - tfrac12,y,e^-yr),dy

Passo 5

Integramos cada lado:
integral sin x,dx = -integral l(tfrac12 e^y - tfrac12,y,e^-yr),dy
No lado esquerdo
integral sin x,dx = -cos x + C1
No lado direito, separamos
-integral tfrac12 e^y,dy + integral tfrac12,y,e^-y,dy
Calculamos cada parte:
-tfrac12integral e^ydy = -tfrac12 e^y,
tfrac12integral y e^-ydy =tfrac12l(-y e^-y-e^-yr) =-tfrac12,y,e^-y-tfrac12 e^-y
Somando,
-integrall(tfrac12 e^y-tfrac12 y e^-yr)dy = -tfrac12 e^y -tfrac12,y,e^-y -tfrac12 e^-y + C2

Passo 6

Igualando as integrais (absorvendo C1 e C2 num único C), temos
-cos x = -tfrac12 e^y -tfrac12,y,e^-y -tfrac12 e^-y + C
Multiplicando por -1 e rearranjando,
cos x = tfrac12 e^y +tfrac12,(y+1),e^-y + C',
ou ainda, multiplicando tudo por 2 e juntando a constante,
e^y + (y+1),e^-y = 2cos x + K,
onde K é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral implícita é
boxede^y + (y+1),e^-y = 2cos x + K

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