Resolva as equações diferenciais a seguir, utilizando o método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar reconhecer uma forma que permita colocar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro para então integrar.
Passo 2
Observe que
. Substituindo na equação original:
Isso dá
Como
numa vizinhança onde a solução é válida, dividimos por
:
Passo 3
Isolamos termos de
e de
:
Agora o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, caracterizando a separação de variáveis.
Passo 4
Simplificamos o integrando em
:
Logo a equação separada é
Passo 5
Integramos cada lado:
No lado esquerdo
No lado direito, separamos
Calculamos cada parte:
Somando,
Passo 6
Igualando as integrais (absorvendo
e
num único
), temos
Multiplicando por
e rearranjando,
ou ainda, multiplicando tudo por 2 e juntando a constante,
onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A solução geral implícita é