Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int e^{-x} \cos (2 x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral e^-xcos(2x),dx
usando a técnica de integração por partes. Para isso vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, pois a integral reaparece ao calcular a segunda parte.

Passo 2

Defina
I = integral e^-xcos(2x),dx
Escolha u = e^-x e dv = cos(2x),dx. Então
du = -e^-x,dx, v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x)
Pela fórmula de partes,
I = e^-xcdottfrac12sin(2x) - integral tfrac12sin(2x),(-e^-x),dx = tfrac12e^-xsin(2x) + tfrac12integral e^-xsin(2x),dx
Definimos
J = integral e^-xsin(2x),dx

Passo 3

Para achar J, use partes com u = e^-x e dv = sin(2x),dx. Então
du = -e^-x,dx, v = integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x)
Logo,
J = e^-x,(-tfrac12cos(2x)) - integral (-tfrac12cos(2x)),(-e^-x),dx = -tfrac12e^-xcos(2x) - tfrac12integral e^-xcos(2x),dx = -tfrac12e^-xcos(2x) - tfrac12I

Passo 4

Substituindo J em I:
I = tfrac12e^-xsin(2x) + tfrac12J = tfrac12e^-xsin(2x) + tfrac12l(-tfrac12e^-xcos(2x)-tfrac12Ir)
Isto conduz a
I = tfrac12e^-xsin(2x) - tfrac14e^-xcos(2x) - tfrac14I Longrightarrow tfrac54I = tfrac12e^-xsin(2x) - tfrac14e^-xcos(2x)
Longrightarrow I = 25e^-xsin(2x) - 15e^-xcos(2x) + C

Resposta

integral e^-xcos(2x),dx = e^-x5l(2sin(2x)-cos(2x)r) + C

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