Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x \operatorname{sen}(5 x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x sin(5x),dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sin(5x),dx
porque x é um polinômio simples (facilita du) e sin(5x) é fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dx, v = integral sin(5x),dx = -15cos(5x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral x sin(5x),dx = u,v - integral v,du = xl(-tfrac15cos(5x)r) - integral l(-tfrac15cos(5x)r),dx

Passo 5

Simplificando o sinal e calculando o integral restante:
-x5cos(5x) + 15integral cos(5x),dx = -x5cos(5x) + 15cdot15sin(5x) + C,
pois integral cos(5x),dx = tfrac15sin(5x).

Passo 6

Juntando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral x sin(5x),dx = -x5cos(5x) + 125sin(5x) + C

Resposta

-x5cos(5x) + 125sin(5x) + C

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