1.4G Se , use o Critério da Razão 1.3.17 para mostrar que . Se , mostre que . E se ?
Passo 1
O enunciado pede para estudar três situações envolvendo os limites das sequências e conforme o valor real de . O conteúdo aqui é limite de sequência e aplicação do Critério da Razão (ou Teste da Razão) para decidir convergência ou divergência.
Passo 2
Caso : Definimos . Calculamos a razão entre termos consecutivos em módulo:
Como esse limite é menor que 1, existe q com |r|<q<1 tal que para n grande
|an+1||an|<= q
Isto implica |an|<= |aN|,q^,n-N para algum N, e portanto limntoinftyan=0. Logo
limntoinftyn,r^n = 0
Passo 3
Caso r>1: A sequência r^n é geométrica de razão r>1. Para qualquer M>0, basta escolher
N>ln Mln r
pois daí
r^N = e^Nln r > e^ln M = M
Isso mostra que r^n cresce sem limite, ou seja,
limntoinftyr^n = +infty
Passo 4
Caso r<-1: Escrevemos
r^n = (|r|)^n,(-1)^n,
onde |r|>1. Aqui (|r|)^nto+infty e (-1)^n faz alternar o sinal. Logo a sequência não se aproxima de nenhum valor finito nem de +infty fixo, mas diverge por oscilar em sinal e crescer em módulo.
Resposta
limntoinfty n cdot r^n = 0 se lvert r rvert < 1
limntoinfty r^n = +infty se r > 1
Se r < -1 , a sequência r^n diverge (oscila e seu módulo tende a +infty ).