1.4G Se |r|<1, use o Critério da Razão 1.3.17 para mostrar que lim n infty n r^n=0. Se r>1, mostre que lim n infty r^n=infty. E se r<-1 ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar três situações envolvendo os limites das sequências n,r^n e r^n conforme o valor real de r. O conteúdo aqui é limite de sequência e aplicação do Critério da Razão (ou Teste da Razão) para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Caso lvert rrvert<1: Definimos an = n,r^n. Calculamos a razão entre termos consecutivos em módulo:
|an+1||an| = (n+1),|r|^,n+1n,|r|^,n = n+1n;|r| ;xrightarrow[ntoinfty];|r|<1
Como esse limite é menor que 1, existe q com |r|<q<1 tal que para n grande
|an+1||an|<= q
Isto implica |an|<= |aN|,q^,n-N para algum N, e portanto limntoinftyan=0. Logo
limntoinftyn,r^n = 0

Passo 3

Caso r>1: A sequência r^n é geométrica de razão r>1. Para qualquer M>0, basta escolher
N>ln Mln r
pois daí
r^N = e^Nln r > e^ln M = M
Isso mostra que r^n cresce sem limite, ou seja,
limntoinftyr^n = +infty

Passo 4

Caso r<-1: Escrevemos
r^n = (|r|)^n,(-1)^n,
onde |r|>1. Aqui (|r|)^nto+infty e (-1)^n faz alternar o sinal. Logo a sequência não se aproxima de nenhum valor finito nem de +infty fixo, mas diverge por oscilar em sinal e crescer em módulo.

Resposta

limntoinfty n cdot r^n = 0 se lvert r rvert < 1
limntoinfty r^n = +infty se r > 1
Se r < -1 , a sequência r^n diverge (oscila e seu módulo tende a +infty ).

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