Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x \operatorname{sec} ^{2}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x sec^2(x),dx
usando integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolhendo de forma conveniente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x e dv = sec^2(x),dx
Dessas escolhas obtemos
du = dx e v = tan(x),
pois ddxl(tan(x)r)=sec^2(x).

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
integral x sec^2(x),dx = u,v - integral v,du = xtan(x) - integral tan(x),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral integral tan(x),dx. Sabemos que
tan(x) = sin(x)cos(x) Longrightarrow integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C1

Passo 5

Voltando à expressão original:
integral x sec^2(x),dx = xtan(x) - l(-ln|cos(x)|r) + C = xtan(x) + lnl|cos(x)r| + C

Resposta

integral x sec^2(x),dx = xtan(x) + lnl|cos(x)r| + C

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