Q 35
Dê exemplo de uma função f: R R contínua, para todo x neq 2 e que seja possível redefinir (e redefina) f(2) para que f seja contínua;

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon RtoR que seja contínua para todo xneq 2 e que apresente uma descontinuidade removível em x=2, de modo que, ao redefinirmos f(2), a função passe a ser contínua em todo R. Vamos usar o conceito de continuidade de quociente de polinômios e cálculo de limite para descontinuidade removível.

Passo 2

Defina a função para xneq 2 por
f(x)=x^2-4x-2
Como é quociente de polinômios com denominador não nulo, essa expressão é contínua em todo ponto xneq 2.

Passo 3

Note que para xneq 2 podemos simplificar
x^2-4x-2=x+2,
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limxto 2f(x)=limxto 2(x+2)=4

Passo 4

Basta então redefinir
f(2)=4
Dessa forma o valor em x=2 coincide com o limite, removendo a descontinuidade e tornando f contínua em todo R.

Resposta

Uma função que satisfaz os requisitos é
f(x)= dfracx^2-4x-2,&xneq 2,[6pt] 4,&x=2 ]

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