Q 37 Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, você pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) Se f é um função contínua tal que f(-1)=3, então lim x 3 f(x)=-1;
(b) Sabe-se que lim x 2 f(x)=5. Então, f(x)>0 para todo x in(1,3);
(c) Se lim x 1 3-f(x)x-1 é finito, então lim x 1 f(x) pode ser qualquer valor;
(d) Seja f: R R uma função tal que f(x)>0 para todo x neq 3 com f(3)=-2, então nexists lim x 3 f(x).

Passo 1

O enunciado pede para cada item determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de limite, continuidade e, quando for falsa, apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Item (a): “Se f é contínua e f(-1)=3, então limxto3f(x)=-1.” Uma função contínua satisfaz limxto af(x)=f(a), mas aqui o ponto de interesse é xto3, não xto-1. Saber que f(-1)=3 não dá informação sobre f(3). Contraexemplo simples: defina f(x)=3 para todo x. Então f(-1)=3, mas limxto3f(x)=3neq-1. Logo, é falsa.

Passo 3

Item (b): “Se
para ter . Logo, é falsa.

Passo 4

Item (c): “Se limxto13-f(x)x-1 é finito, então limxto1f(x) pode ser qualquer valor.” Se a razão 3-f(x)x-1 tende a um número finito quando xto1 e o denominador vai a zero, o numerador deve ir a zero para que o quociente não exploda. Logo limxto1(3-f(x))=0, ou seja limxto1f(x)=3. Não pode ser qualquer valor. Portanto, é falsa.

Passo 5

Item (d): “Se f(x)>0 para todo xneq3 e f(3)=-2, então não existe limxto3f(x).” O valor de f em x=3 não interfere no limite quando xto3; basta que os valores de f(x) para xneq3 tenham comportamento bem determinado. Por exemplo, definindo
f(x)=1(forall xneq3), f(3)=-2,
temos limxto3f(x)=1 mesmo com f(3)=-2. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa

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