Q 37 Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, você pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) Se
é um função contínua tal que
, então
;
(b) Sabe-se que
. Então,
para todo
;
(c) Se
é finito, então
pode ser qualquer valor;
(d) Seja
uma função tal que
para todo
, então
.
(a) Se
(b) Sabe-se que
(c) Se
(d) Seja
Passo 1
O enunciado pede para cada item determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de limite, continuidade e, quando for falsa, apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Item (a): “Se
é contínua e
, então
.” Uma função contínua satisfaz
, mas aqui o ponto de interesse é
, não
. Saber que
não dá informação sobre
. Contraexemplo simples: defina
para todo
. Então
, mas
. Logo, é falsa.
Passo 3
Item (b): “Se
para ter . Logo, é falsa.
Passo 4
Item (c): “Se
é finito, então
pode ser qualquer valor.” Se a razão
tende a um número finito quando
e o denominador vai a zero, o numerador deve ir a zero para que o quociente não exploda. Logo
, ou seja
. Não pode ser qualquer valor. Portanto, é falsa.
Passo 5
Item (d): “Se
para todo
e
, então não existe
.” O valor de
em
não interfere no limite quando
; basta que os valores de
para
tenham comportamento bem determinado. Por exemplo, definindo
temos
mesmo com
. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa