Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral raiz[4]x2+raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz[4]x2+raizx,dx
usando uma mudança de variável que racionalize as raízes. Isso se encaixa no tema de integrais de funções racionais após substituição apropriada.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^1/4,
então
x = t^4, dx = 4t^3,dt, raizx=x^1/2=t^2
Na integral original,
x^1/4=t, dx=4t^3,dt,
portanto
integral x^1/42+raizx,dx = integral t2+t^2,4t^3,dt = integral 4t^4t^2+2,dt

Passo 3

Dividimos o polinômio 4t^4 por t^2+2:
t^4t^2+2 = t^2 - 2 + 4t^2+2,
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4t^4t^2+2 =4l(t^2-2+4t^2+2r) =4t^2 -8 + 16t^2+2

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 4t^2,dt = 4t^33, integral (-8),dt = -8t, integral 16t^2+2,dt =16cdot1raiz2arctan!l(tfractraiz2r) =8raiz2,arctan!l(tfractraiz2r)

Passo 5

Reagrupando e voltando à variável x (onde t=x^1/4), obtemos
integral raiz[4]x2+raizx,dx = 43t^3 -8t +8raiz2,arctan!l(tfractraiz2r) +C = 43x^3/4 -8x^1/4 +8raiz2,arctan!l(tfracx^1/4raiz2r) +C

Resposta

43x^3/4 -8x^1/4 +8raiz2,arctan!l(tfracx^1/4raiz2r) +C

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