Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral raizx+12+raizx+1 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizx+12+raizx+1,dx
usando uma mudança de variável que torne a função racional. Vamos usar a substituição
t = raizx+1,
pois assim eliminamos a raiz e obtemos uma função racional em t.

Passo 2

Com t=raizx+1 temos
x = t^2 - 1, dx = 2t,dt, raizx+1=t
Substituindo na integral original:
integral raizx+12+raizx+1,dx = integral t2+t,(2t,dt) = integral 2t^2t+2,dt

Passo 3

Para integrar 2t^2t+2 fazemos divisão polinomial:
2t^2t+2 = 2t - 4 + 8t+2
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integral 2t^2t+2,dt = integral l(2t - 4 + tfrac8t+2r),dt = integral 2t,dt - integral 4,dt + integral 8t+2,dt
Calculando cada termo:
integral 2t,dt = t^2, integral 4,dt = 4t, integral 8t+2,dt = 8lnllvert t+2rrvert
Portanto o antiderivado em t é
t^2 - 4t + 8lnllvert t+2rrvert + C

Passo 4

Voltando à variável x com t=raizx+1, obtemos
t^2 = x+1, 4t = 4raizx+1,
então o resultado final é
(x+1) - 4raizx+1 + 8lnl(raizx+1+2r) + C
Podemos absorver o +1 em C se quisermos uma forma mais simples.

Resposta

integral raizx+12+raizx+1,dx = x - 4raizx+1 + 8lnl(raizx+1+2r) + C

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