O Teorema de Riemann-Lebesgue diz que se f(x) é uma função definida no intervalo (-L, L), limitada e integrável nesse intervalo, então
lim n infty integral-L^L f(x) sin n pi xL d x=lim n infty integral-L^L f(x) cos n pi xL d x=0
Em outras palavras, os coeficientes de Fourier da função f(x), an e bn, tendem a zero quando n tende a infinito. Verifique o Teorema de Riemann-Lebesgue para a função
f(x)=l -1 se -pi <= x <= 0 1, se 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Riemann–Lebesgue, ou seja, mostrar que os coeficientes de Fourier
tendem a zero quando
que é ímpar e limitada em ([-\pi,\pi]].

Passo 2

Como f é ímpar, f(-x)=-f(x), e cos(nx) é par, cos(-nx)=cos(nx), o produto f(x)cos(nx) é função ímpar. Logo
an =1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =0 forall n,
e em particular limntoinftyan=0.

Passo 3

Para bn, o integrando f(x)sin(nx) é par (ímpar vezes ímpar). Então
bn =2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx =2piintegral0^pi1cdotsin(nx),dx =2pil[-cos(nx)nr]0^pi =2pi,1-(-1)^nn

Passo 4

Da expressão
bn =2pi nl(1-(-1)^nr),
vemos que bn=0 quando n é par e bn=tfrac4pi n quando n é ímpar. Em ambos os casos bnto0 quando ntoinfty.

Resposta

Mostramos que
an=0e bn=2pi nl(1-(-1)^nr),
ambos tendem a zero quando ntoinfty, confirmando o Teorema de Riemann–Lebesgue para esta f.

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