O Teorema de Riemann-Lebesgue diz que se é uma função definida no intervalo , limitada e integrável nesse intervalo, então
Em outras palavras, os coeficientes de Fourier da função e , tendem a zero quando tende a infinito. Verifique o Teorema de Riemann-Lebesgue para a função
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Riemann–Lebesgue, ou seja, mostrar que os coeficientes de Fourier
tendem a zero quando
que é ímpar e limitada em ([-\pi,\pi]].
Passo 2
Como f é ímpar, f(-x)=-f(x), e cos(nx) é par, cos(-nx)=cos(nx), o produto f(x)cos(nx) é função ímpar. Logo
an =1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =0 forall n,
e em particular limntoinftyan=0.
Passo 3
Para bn, o integrando f(x)sin(nx) é par (ímpar vezes ímpar). Então