Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 1-raizx1+raizx d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1-raizx1+raizx,dx
usando uma mudança de variável que torne a integral de função racional em x. O conteúdo aqui é integração de funções racionais após substituir raizx por uma nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição racionalizante
u = raizx Longrightarrow x = u^2, dx = 2u,du
Assim a integral fica
integral 1-raizx1+raizx,dx = integral 1-u1+u;2u,du = integral 2u(1-u)1+u,du

Passo 3

Para integrar, simplificamos o integrando por divisão de polinômios:
2u(1-u)1+u = -2u^2 +2u1+u
Fazendo a divisão (-2u^2+2u)div(u+1) obtemos
-2u^2+2uu+1 = -2u + 4 - 4u+1
Logo
2u(1-u)1+u = -2u + 4 - 4u+1

Passo 4

Agora a integral se separa em termos simples:
integral 2u(1-u)1+u,du = integral l(-2u +4r),du ;-;4integral 1u+1,du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral (-2u+4),du = -u^2 +4u, integral 1u+1,du = lnl|u+1r|
Portanto
integral 2u(1-u)1+u,du = -u^2 +4u -4lnl|u+1r| + C

Passo 6

Voltando à variável original x, em que u=raizx, fica
-u^2 +4u -4lnl|u+1r| + C = -,x ;+;4raizx;-;4lnl|raizx+1r|;+;C

Resposta

boxed integral 1-raizx1+raizx,dx = -x + 4raizx - 4lnl(raizx+1r) + C

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