Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais: ;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando uma mudança de variável que torne a integral de função racional em . O conteúdo aqui é integração de funções racionais após substituir por uma nova variável.
Passo 2
Fazemos a substituição racionalizante
Assim a integral fica
Passo 3
Para integrar, simplificamos o integrando por divisão de polinômios:
Fazendo a divisão obtemos
Logo
Passo 4
Agora a integral se separa em termos simples:
Passo 5
Integramos termo a termo:
Portanto
integral 2u(1-u)1+u,du = -u^2 +4u -4lnl|u+1r| + C
Passo 6
Voltando à variável original x, em que u=raizx, fica
-u^2 +4u -4lnl|u+1r| + C = -,x ;+;4raizx;-;4lnl|raizx+1r|;+;C
Resposta
boxed integral 1-raizx1+raizx,dx = -x + 4raizx - 4lnl(raizx+1r) + C