Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 1x raiz1-x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1xraiz1-x,dx
e sugere usar uma mudança de variável que elimine a raiz. Como temos raiz1-x, vamos escolher uma substituição racionalizante do tipo
t = raiz1-x

Passo 2

Da definição t = raiz1-x vem
1 - x = t^2
logo
x = 1 - t^2
Derivando, obtemos
dx = -2t,dt

Passo 3

Na integral original substituímos x, raiz1-x e dx:
1xraiz1-x,dx = 1(1 - t^2),t;(-2t,dt) = -2,11-t^2,dt
Logo a integral torna-se
integral 1xraiz1-x,dx = -2integral 11-t^2,dt

Passo 4

Sabendo que
temos
ou, usando logaritmo,

Passo 5

Voltando à variável original , em que , concluímos que
ou equivalentemente

Resposta

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