Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral xx+raizx-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xx+raizx-1,dx
e indica usar uma mudança de variável que racionalize a raiz. Esse problema envolve técnicas de integração de funções racionais após um substituição apropriada.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = raizx-1 Longrightarrow x = t^2 + 1, dx = 2t,dt
Nesse caso raizx-1=t e x+raizx-1=t^2+1+t=t^2+t+1. Logo a integral vira
integral xx+raizx-1,dx = integral t^2+1t^2+t+1,2t,dt = integral 2t,(t^2+1)t^2+t+1,dt

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial de 2t(t^2+1) por t^2+t+1. Escrevendo
2t(t^2+1)t^2+t+1 =2t - 2 + 2t+2t^2+t+1,
verifica-se que o quociente é 2t-2 e o resto 2t+2. Assim
integral 2t(t^2+1)t^2+t+1,dt = integral (2t-2),dt ;+;integral 2t+2t^2+t+1,dt

Passo 4

Calculamos a parte polinomial:
integral (2t-2),dt = t^2 - 2t

Passo 5

Resta avaliar
integral 2t+2t^2+t+1,dt =2integral t+1t^2+t+1,dt
Escrevemos t+1=tfrac12(2t+1)+tfrac12, de modo que
2integral t+1t^2+t+1,dt =2l[tfrac12!integral2t+1t^2+t+1,dt +tfrac12!integral1t^2+t+1,dtr] =integral2t+1t^2+t+1,dt +integral1t^2+t+1,dt

Passo 6

  1. Para a primeira integral
integral 2t+1t^2+t+1,dt =lnl(t^2+t+1r)
  1. Para a segunda, completamos o quadrado:
t^2+t+1=l(t+tfrac12r)^2+tfrac34,
então
integral 1t^2+t+1,dt =integral 1l(t+tfrac12r)^2+(tfracraiz32)^2,dt =2raiz3arctan!l(2t+1raiz3r)

Passo 7

Somando tudo, a integral em t é
t^2-2t +lnl(t^2+t+1r) +2raiz3arctan!l(2t+1raiz3r) + C

Passo 8

Voltando a x com t=raizx-1, temos t^2=x-1 e t^2+t+1=x-1+raizx-1+1=x+raizx-1. Assim
integral xx+raizx-1,dx = (x-1)-2raizx-1 +lnl(x+raizx-1r) +2raiz3arctan!l(2raizx-1+1raiz3r) + C
O termo -1 pode ser absorvido em C.

Resposta

boxed integral xx+raizx-1,dx = x-2raizx-1 +lnl(x+raizx-1r) +2raiz3arctan!l(2raizx-1+1raiz3r) + C

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