Seja
a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante
camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
onde
e
.
(a) Determine os dois pontos de equilíbrio (
e
) para
, esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
(b) Prove que se a população inicial é menor que
, os camarões se extingem em um tempo finito, porém se
a população tende a
quando
cresce.
(c) Para
, a EDO possui um único ponto de equilibrio que é semi-estável.
(d) Para
, a população decresce.
(a) Determine os dois pontos de equilíbrio (
(b) Prove que se a população inicial é menor que
(c) Para
(d) Para
Passo 1
O enunciado apresenta a equação logística com captura constante
onde
,
,
.
Conteúdo: dinâmica de populações, análise de pontos de equilíbrio, estabilidade, tempo finito de extinção e comportamento assintótico.
Vamos (a) resolver quando
, esboçar o diagrama de fases e analisar estabilidade; (b) mostrar extinção finita para
e convergência a
se
; (c) tratar
; (d) tratar
.
Conteúdo: dinâmica de populações, análise de pontos de equilíbrio, estabilidade, tempo finito de extinção e comportamento assintótico.
Vamos (a) resolver
Passo 2
Para equilibrar, resolvemos
O discriminante é
. Se
então
e os equilíbrios são
Passo 3
Define
. Fatorando,
Como
, o sinal de
é:
- Para
: , . - Para
: fatores de sinais opostos . - Para
: , .
No diagrama de fases na reta
:
Setas para baixo em
e
; para cima em
.
Logo é instável (fluxo de baixo para cima) e
é estável (fluxo de cima para baixo).
Logo
Passo 4
Se
, então
e, em particular, sobre
temos
ou seja
.
Daí
Daí
Integrando de
até
,
Logo a população atinge zero em tempo finito.
Passo 5
Se
, há dois casos:
- Se
, então e decresce até entrar em . - Se
, então e cresce, mas permanece abaixo de .
Em ambos casos, existirátal que e daí para todo . Assim é monótona crescente e limitada por , logo converge para algum . Passando ao limite na EDO,
Mas como
para todo
, só resta
.
Passo 6
Para
, o discriminante
e o único equilíbrio é
Neste caso
com igualdade só em
. Logo
para
: se
,
; se
,
em tempo finito. Assim
atrai soluções vindas de cima e repele as vindas de baixo: é semi-estável.
Passo 7
Para
,
e não há equilíbrios reais. O máximo de
ocorre em
e vale
Portanto
para todo
,
sempre, e pela mesma comparação
segue que
em tempo finito.
Resposta
(a) Para
os equilíbrios são
(b) Se
então
em tempo finito; se
então
quando
.
(c) Para há o único ponto
, semi-estável.
(d) Para ,
para todo
e a população decresce até extinção em tempo finito.
(c) Para
(d) Para