Seja y(t) a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante R camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
y^prime=a y-b y^2-R
onde a>0, b>0 e R>0.
(a) Determine os dois pontos de equilíbrio ( y1 e y2 ) para R<a^24 b, esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
(b) Prove que se a população inicial é menor que y(0)<y1<y2, os camarões se extingem em um tempo finito, porém se y(0)>y1 a população tende a y2 quando t cresce.
(c) Para R=a^24 b, a EDO possui um único ponto de equilibrio que é semi-estável.
(d) Para R>a^24 b, a população decresce.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação logística com captura constante
y' = a,y - b,y^2 - R,
onde a>0, b>0, R>0.
Conteúdo: dinâmica de populações, análise de pontos de equilíbrio, estabilidade, tempo finito de extinção e comportamento assintótico.
Vamos (a) resolver a,y-b,y^2-R=0 quando R<tfraca^24b, esboçar o diagrama de fases e analisar estabilidade; (b) mostrar extinção finita para y(0)<y1 e convergência a y2 se y(0)>y1; (c) tratar R=tfraca^24b; (d) tratar R>tfraca^24b.

Passo 2

Para equilibrar, resolvemos
a,y - b,y^2 - R = 0 ;Long<=ftrightarrow; b,y^2 - a,y + R = 0
O discriminante é De<a = a^2 - 4,b,R. Se R<tfraca^24b então De<a>0 e os equilíbrios são
y1 = a - raiza^2 - 4,b,R2,b, y2 = a + raiza^2 - 4,b,R2,b

Passo 3

Define f(y)=a,y - b,y^2 - R. Fatorando,
f(y) = -b,(y - y1),(y - y2)
Como b>0, o sinal de f é:
  • Para y<y1: (y-y1)<0, (y-y2)<0 Rightarrow (y-y1)(y-y2)>0 Rightarrow f(y)<0.
  • Para y1<y<y2: fatores de sinais opostos Rightarrow f(y)>0.
  • Para y>y2: (y-y1)>0, (y-y2)>0 Rightarrow f(y)<0.
No diagrama de fases na reta y:
!!!!bul<=t!!!!to!!!!circ!!!!
y1 y2
Setas para baixo em y<y1 e y>y2; para cima em y1<y<y2.
Logo y1 é instável (fluxo de baixo para cima) e y2 é estável (fluxo de cima para baixo).

Passo 4

Se 0<= y(0)<y1, então y'(t)=f(y(t))<0 e, em particular, sobre [0,y1] temos
f(y)<= f(0) = -R < 0,
ou seja y'(t)<= -R.
Daí
dydt<= -R ;Longrightarrow; dt >= dy-R
Integrando de y(0) até 0,
T ;=;integral0^T!dt ;>=; integraly(0)^0dy-R ;=;y(0)R<infty
Logo a população atinge zero em tempo finito.

Passo 5

Se y(0)>y1, há dois casos:
  • Se y(0)>y2, então y'(0)<0 e y(t) decresce até entrar em (y1,y2).
  • Se y1<y(0)<y2, então y'(0)>0 e y(t) cresce, mas permanece abaixo de y2.
    Em ambos casos, existirá t0 tal que y(t0)in(y1,y2) e daí y'(t)>0 para todo t>t0. Assim y(t) é monótona crescente e limitada por y2, logo converge para algum L<= y2. Passando ao limite na EDO,
0 = limttoinftyy'(t) = fl(Lr) ;Longrightarrow; Liny1,y2
Mas como y(t)>y1 para todo t>= t0, só resta L=y2.

Passo 6

Para R = tfraca^24b, o discriminante De<a=0 e o único equilíbrio é
y* = a2,b
Neste caso
f(y) = a,y - b,y^2 - a^24b = -bl(y-tfraca2br)^2<= 0,
com igualdade só em y=y*. Logo y'(t)<0 para yneq y*: se y(0)>y*, ysearrow y*; se y(0)<y*, ysearrow0 em tempo finito. Assim y* atrai soluções vindas de cima e repele as vindas de baixo: é semi-estável.

Passo 7

Para R>tfraca^24b, De<a<0 e não há equilíbrios reais. O máximo de f ocorre em y=tfraca2b e vale
fmax = a^24b - R <0
Portanto f(y)<0 para todo y, y'(t)<0 sempre, e pela mesma comparação y'(t)<= fmax<0 segue que yto0 em tempo finito.

Resposta

(a) Para R<tfraca^24b os equilíbrios são
y1 = a - raiza^2 - 4bR2b(instável), y2 = a + raiza^2 - 4bR2b(estável) áá
(b) Se y(0)<y1 então y(t)to0 em tempo finito; se y(0)>y1 então y(t)to y2 quando ttoinfty.
(c) Para R=tfraca^24b há o único ponto y*=tfraca2b, semi-estável.
(d) Para R>tfraca^24b, y'(t)<0 para todo t e a população decresce até extinção em tempo finito.

Exercícios relacionados