Questão 3. Resolva a equação diferencial y^(4)-2x y^(3)=5 x^2. Sugestão: Faça z=y^(3).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de quarta ordem
y^(4) - 2x,y^(3) = 5x^2,
sugerindo a substituição z = y^(3). O conteúdo aqui é redução de ordem e solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem em z.

Passo 2

Fazendo z = y^(3), temos
z' = y^(4),
então a equação original fica
z' - 2x,z = 5x^2
Isso é uma EDO linear de primeira ordem em z(x).

Passo 3

Calcule o fator integrante
mu(x) = expl(-!integral 2x,dxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2
Multiplicando a equação por mu(x) obtém-se
x^-2z' - 2x^-3z = 5,
isto é
ddxl(x^-2zr) = 5
Integrando em x, vem
x^-2z = 5x + C1 Longrightarrow z = 5x^3 + C1x^2

Passo 4

Agora z = y^(3), então integramos três vezes para chegar a y. Primeiro,
y'' = integral z,dx = integrall(5x^3 + C1x^2r)dx = 54x^4 + C13x^3 + C2
Em seguida,
y' = integral y'',dx = integrall(54x^4 + C13x^3 + C2r)dx = 14x^5 + C112x^4 + C2x + C3
Por fim,
y = integral y',dx = integrall(14x^5 + C112x^4 + C2x + C3r)dx = 124x^6 + C160x^5 + C22x^2 + C3x + C4

Resposta

boxedy(x) = 124x^6 + C160x^5 + C22x^2 + C3x + C4,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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