Q 40 Verifique que x=2 e x=4 são duas raízes da equação x^2=2^x. Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que esta equação admite outra raiz real. Qual o menor intervalo, de comprimento inteiro, que esta raiz pertence?

Passo 1

O enunciado pede para verificar que x=2 e x=4 satisfazem
x^2 = 2^x
e, em seguida, usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que há uma terceira raiz real. Por fim, determinar o menor intervalo de comprimento inteiro que contenha essa nova raiz.

Passo 2

Verificamos as raízes dadas por substituição direta na equação x^2=2^x:
- Para x=2:
2^2 = 4 e 2^2 = 4,
logo é raiz.
- Para x=4:
4^2 = 16 e 2^4 = 16,
também é raiz.

Passo 3

Definimos a função
f(x) = x^2 - 2^x
Como soma e produto de funções contínuas (polinomial e exponencial), f é contínua em todo R. Assim podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo.

Passo 4

Calculamos f em dois pontos:
f(-1) = (-1)^2 - 2^-1 = 1 - tfrac12 = tfrac12 > 0,
f(0) = 0^2 - 2^0 = 0 - 1 = -1 < 0

Passo 5

Como f(-1)>0 e f(0)<0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(-1,0) tal que f(c)=0. Esse c é a terceira raiz real da equação.

Passo 6

O menor intervalo de comprimento inteiro que contém essa raiz c é
[-1,0]

Resposta

O terceiro zero de x^2=2^x está em (-1,0) e o menor intervalo de comprimento inteiro que o contém é [-1,0].

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