Q 40 Verifique que
e
são duas raízes da equação
. Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que esta equação admite outra raiz real. Qual o menor intervalo, de comprimento inteiro, que esta raiz pertence?
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
e
satisfazem
e, em seguida, usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que há uma terceira raiz real. Por fim, determinar o menor intervalo de comprimento inteiro que contenha essa nova raiz.
Passo 2
Verificamos as raízes dadas por substituição direta na equação
:
- Para :
- Para
logo é raiz.
- Para :
- Para
também é raiz.
Passo 3
Definimos a função
Como soma e produto de funções contínuas (polinomial e exponencial),
é contínua em todo
. Assim podemos aplicar o TVI em qualquer intervalo.
Passo 4
Calculamos
em dois pontos:
Passo 5
Como
e
e
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Esse
é a terceira raiz real da equação.
Passo 6
O menor intervalo de comprimento inteiro que contém essa raiz
é
Resposta
O terceiro zero de
está em
e o menor intervalo de comprimento inteiro que o contém é
.